(Äquivalenz-) Relationen |
22.04.2011, 14:08 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
(Äquivalenz-) Relationen ich beschäftige mich mit Äquivalenzrelationen und allgemein Relationen und das Untersuchen von ihnen auf bestimmte Eigenschaften bezüglich:
Wenn all diese Eigenschaften erfüllt sind, wird von einer Äquivalenzrelationen gesprochen. Hier im MahteBoard habe ich schon großartige Unterstützung erhalten. Nun bin ich bei folgenden Aufgaben:
Die erste habe ich schon fertig. Bei der 2. bin ich gerade: Ich untersuche dann auf folgende Eigenschaften:
Sind meine Ideen richtig und wie kann ich bei dem Nachweis zur Transitivität fortfahren, wenn meine Anfangsideen überhaupt richtig waren? Vielen Dank, Pascal |
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22.04.2011, 14:22 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man "darf" zwar nicht durch 0 teilen, aber das verlangt ja auch keiner. a|b heißt ja "a teilt b" und nicht umgekehrt. Das b darf ruhig 0 sein. Nun stellt sich also die Frage: Welche Werte darf a in a|0 annehmen? Anders gefragt: Durch welche Zahlen ist 0 teilbar? Die Überlegungen zur Symmetrie sind korrekt. Dem, was du zur Transitivität schreibst, kann ich nicht ganz folgen. Wenn m den Term (a-b) teilt, dann ist (a-b) ein Vielfachens von m. Wenn m den Term (b-c) teilt, dann ist (b-c) ein Vielfachens von m. Ist (a-c) ein Vielfaches von m wenn das auf (a-b) und (b-c) zutrifft? |
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22.04.2011, 14:30 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, da komm ich immer durcheinander: Also es heißt: a|b, also a teilt b , also ist a ein Teiler von b , dann gibts ein c aus Z, sodass c*a=b Man kann dann nach c umstellen: . Dann seh ich dass a nicht 0 sein darf. Aha, jetzt versteh ich deine Bemerkung: "Das b darf ruhig 0 sein" Also darf a eine beliebige ganze Zahl sein. (oder so ähnlich). Ich habe zur Transitivität versucht, ähnlich zu argumentiern, wie bei der allgemeinen Teilbarkeitsdefinition: a teilt b <=> es gibt ein c aus Z, sodass c*a=b. Aber das, was du schreibst, ist einfach(er). "Wenn m den Term (a-b) teilt, dann ist (a-b) ein Vielfachens von m. Wenn m den Term (b-c) teilt, dann ist (b-c) ein Vielfachens von m. Ist (a-c) ein Vielfaches von m wenn das auf (a-b) und (b-c) zutrifft?" (a-c) ist dann ein Vielfaches von m, wenn es ein gibt, sodass . (?) Soll ich so weitermachen? |
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22.04.2011, 16:35 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, ist ok. |
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22.04.2011, 19:08 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich weiß trotzdem nicht richtig, wie ich da rangehen soll: Ich muss nur überprüfen, ob ist: [attach]19208[/attach] Vielleicht gibt's einen kleinen Anstoss wie ich das hinkriegen soll? |
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22.04.2011, 20:02 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht hilft das weitert: Das hattest du ja schon: Und jetzt, der nächste Schritt: Den Rest schaffst du selber. |
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22.04.2011, 21:28 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und also ist m ein Teiler von a-b außerdem , d.h. m ist ein Teiler von b-c Wenn m ein Teiler von a-b ist, so gibt es ein x aus Z, sodass m*x = a-b Wenn m ein Teiler von b-c ist, so gibt es ein y aus Z, sodass m*y = b-c Weil also x und y ganze Zahlen sind ist deren Summe, also , auch ganz. x = (a-b) / m y = (b-c) / m Dann ist die Relation auch transitiv !! |
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22.04.2011, 23:47 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: (Äquivalenz-) Relationen In der dritten Aufgabe fehlt es mir wohl an Wortschatz:
sagt mir nichts. Ich weiß zwar, was die Potenzmenge ist; aber was ist denn eine Mengeninklusion auf der Potenzmenge? Pascal |
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23.04.2011, 11:14 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Def. Mengeninklussion: Eine Menge A ist genau dann in einer Menge B inkludiert, wenn ausnahmslos alle Elemente, die in A enthalten sind, auch in der Menge B enthalten sind. Dabei darf B auch zusätzliche Elemente enthalten, die in A nicht zu finden sind. (Das muss aber nicht zuwingend so sein). Geschrieben wird das so: Man sagt auch: "A ist eine Teilmenge von B" oder, gleichbedeutend: "B ist eine Obermenge von A", oder auch: "A ist in B inkludiert" Die Potenzmenge P einer Menge M ist die Menge aller möglichen Teilmengen von M. Im vorliegenden Beispiel sind A und B (und natürlich auch M) Elemente der Potenzmenge, weil sie Teilmengen von M sind. Hier geht es also um eine Relation (nämlich die Mengeninklussion), die zwischen Elementen der Potenzmenge P besteht, wobei jedes dieser Elemente selbst eine Menge ist. |
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23.04.2011, 12:11 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die Definition. Die Mengeninklusion (Teilmengenbeziehung) ist doch antisymmetrisch? Wenn A eine Teilmenge von B ist, so sind alle Elemente von A auch in B enthalten. Und wenn B eine Teilmenge von A ist, so sind alle Elemente von B auch in A enthalten. Daraus kann nur folgen, dass sie gleich sind A=B ! Stimmt das so? Dann kann sie ja nicht symmetrisch sein?! |
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23.04.2011, 12:18 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja stimmt, aber inwiefern ist das ein Problem? Edit: Mal abgesehen davon, dass dies für A=B, also z.B. dann wenn M die leere Menge ist, auch wirklich möglich ist... |
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23.04.2011, 12:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich will sie ja auf Äquivalenzrelation untersuchen und die Symmetrie gehört nun mal dazu |
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23.04.2011, 12:23 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aha, wußte ich nicht... Aber wie ich schon sagte, wenn ist, wirst du schwer so ein Gegenbeispiel finden... |
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23.04.2011, 12:24 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das versteh ich jetzt nicht ganz. Was ist für A=B möglich, wenn M die leere Menge ist? Aber jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst (reflexiv) Edit: Die leere Menge ist dann auch Teilmenge von sich selbst? |
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23.04.2011, 12:29 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, falls ist, dann besteht die Potenzmenge von M nur aus M allein... Edit: Insbesondere ist dann die Mengeninklusion tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf P(M)... Das mag jetzt nach Haarspalterei aussehen, aber man sollte solche Spezialfälle immer im Auge behalten, denn sie helfen, "den mathematischen Sachverstand zu schärfen"... |
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23.04.2011, 12:31 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meinst du, dass die leere Menge einziges Element der Potenzmenge von sich ist? Kann man das so schreiben: ? und das habe ich auch mal gehört: |
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23.04.2011, 12:39 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das stimmt so... |
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23.04.2011, 12:41 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Soll ich dann davon ausgehen, dass M nicht die leere Menge ist, und wenn ja, wie soll ich fortfahren? |
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23.04.2011, 13:12 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn es um die Frage geht, ob die Relation auf eine Äquivalenzrelation ist, musst du für M diese Fallunterscheidung machen, ja.... |
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23.04.2011, 13:15 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Habe ich das richtig verstanden:
Dann wäre die Relationauf jeden Fall reflexiv, weil immer gilt, weil . (????) |
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23.04.2011, 13:17 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, die Reflexivität und Transitivität sind für klarerweise immer erfüllt... |
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23.04.2011, 13:20 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Transitivität: Aber Symmetrie gilt hier m.E. nicht, weil eben nicht folgern muss, das wäre nur im Falle richtig. |
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23.04.2011, 13:21 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso macht ihr das alles so kompliziert? Gefragt war, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist. Das kann sie nur sein, wenn symmetrisch ist. Das ist aber nicht der Fall. ist NICHT symmetrisch. Damit lässt sich die Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, ja ziemlich eindeutig beantworten, oder? Nochwas: Keine Menge kann mit ihrer eigenen Potenzmenge identisch sein. Die Mächtigkeit einer Potenzmenge (also die Anzahl ihrer Elemente) ist gleich 2 hoch der Mächtigkeit der ursprünglichen Menge. Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element (nämlich die leere Menge), und damit um 1 Element mehr als die leere Menge (die ja kein Element enthält) |
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23.04.2011, 13:30 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm, ich fürchte, du solltest erst mal alles lesen, was dazu bisher gesagt wurde, nämlich dass die Eigenschaft der Symmetrie für die Mengeninklusion auf der Potenzmenge genau dann erfüllt ist, wenn ist... Man kann sich ja darüberhinaus durchaus noch mit der Frage beschäftigen, ob wenigstens die anderen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt sind (muss es aber nicht)...
Wo steht das hier in diesem Thread? Bitte Zitat... |
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23.04.2011, 13:32 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hatte Schwierigkeiten, die Aufgabe zu verstehen. Also geht es nur darum, ob die Teilmengenbeziehung eine Äquivalenzrelation ist. Und das ist sie nicht, weil sie nicht symmetrisch ist. Das habe ich allerdings schon erwähnt. Ist die Frage damit eigentlich beantwortet ?
Ich glaube es gilt: Kann man dazu einen Beweis finden? beschreibt die Mächtigkeit von . |
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23.04.2011, 13:40 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...weil nur ein Element enthält (?) |
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23.04.2011, 13:46 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Rrrrrichtig... Insbesondere sieht man auch, dass man die Frage
eben nicht so eindeutig mit JA oder NEIN beantworten kann, wie Hubert1965 offenbar glaubt, sondern man dafür eine Fallunterscheidung machen muss, was M betrifft.... |
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23.04.2011, 13:50 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und zwar ob M eine leere Menge ist: [attach]19223[/attach] Davon hängt ab, ob diese Teilmengenbeziehung eine Äquivalenzrelation ist. [SIZE=]Edit: Ist das denn richtig so?[/SIZE] |
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23.04.2011, 14:16 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ist richtig so (wie oft eigentlich noch???)... Hubert1965 drängt es nach obiger Bemerkung offenbar sehr, den Thread wieder zu übernehmen, was er gerne tun kann... |
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23.04.2011, 16:36 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo.
Ok Ich wollte mich nur vergewissern ob man so diese Fallunterscheidung angeben kann, ich habe sie ja schließlich noch nicht erwähnt. Ich hätte allerdings noch eine Frage:
Ist diese Zusammenfassung richtig? Aber warum spricht man dann von der "Mengeninklusion auf die Potenzmenge". Eine Potenzmenge ist hier nicht explizit angegeben. Meint man damit einfach nur diese Teilmengenbeziehung, die ich auch erwähnt habe: Vielen Dank fürs Lesen meiner Beiträge Pascal |
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23.04.2011, 17:19 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe beim Überfliegen jetzt keinen Fehler gesehen, aber sie ist jedenfalls rekordverdächtig umständlich... Du solltest dir lieber überlegen, dass allgmein folgendes gilt Satz: Eine Relation R auf einer 1-elementigen Menge ist genau dann eine Äuquivalenzrelation, wenn sie reflexiv ist. das befreit nämlich die ganze Symbolik von unnötigem Ballast und man sieht dann auch besser, worauf es wirklich ankommt... Dieser Satz ist dann auf die 1-elememtige Menge anwendbar...
Da es hier die ganze Zeit um Teilmengen von M geht, reden wir auch die ganz Zeit schon von der Potenzmenge , deren Elemente eben gerade die Teilmengen von M sind, und die Relation , um die es hier geht ist folgendermaßen definiert Wahrscheinlich kommt deine Verwirrung daher, dass wir dann doch wieder überall geschrieben haben statt richtiger ... |
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23.04.2011, 17:30 | Pascal95 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
weil Symmetrie und Transitivität klar sind. oder Dann vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen |
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23.04.2011, 17:33 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, kein Problem... |
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