(Äquivalenz-) Relationen

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
(Äquivalenz-) Relationen
Hallo,

ich beschäftige mich mit Äquivalenzrelationen und allgemein Relationen und das Untersuchen von ihnen auf bestimmte Eigenschaften bezüglich:
  • Reflexivität
  • Symmetrie
  • Transitivität

Wenn all diese Eigenschaften erfüllt sind, wird von einer Äquivalenzrelationen gesprochen.

Hier im MahteBoard habe ich schon großartige Unterstützung erhalten.

Nun bin ich bei folgenden Aufgaben:
Zitat:
Original von Iorek
  • Sei eine beliebige Menge, überprüfe ob die Relation definiert durch eine Äquivalenzrelation ist.
  • Sei fest gewählt. Wähle als Menge , ist dann eine Äquivalenzrelation?
  • Sei eine Menge. Wir betrachten die Mengeninklusion auf der Potenzmenge, also , handelt es sich hier um eine Äquivalenzrelation?


Die erste habe ich schon fertig.

Bei der 2. bin ich gerade:
Ich untersuche dann auf folgende Eigenschaften:
  • Reflexivität: Da bin ich mir noch unsicher, die Relation ist reflexiv, wenn für alle . Das wäre genau dann, wenn immer teilt, aber man darf nicht durch teilen. verwirrt
  • Symmetrie: Wenn für alle gilt: . Wenn , dann . Dabei ist zu beachten: .
    Es gilt allgemein: . Dieses wäre hier und das wäre . Es existiert also immer ein , sodass . Es gilt auch . Das kann man zeigen: . Ok, dann sage ich: , also existiert ein , sodass . Um nun zu zeigen, dass auch teilt, muss man aus Kommutativitätgründen nur wählen: . Also ist die Relation symmetrisch! Augenzwinkern
  • Transitivität: genau dann wenn für alle es auch ein , und daraus folgt, dass !
    Wenn m teilt also x-y und m teilt y-z gilt, dann auch m teilt x-z?
    Dazu mache ich den Ansatz:

    * m teilt also x-y
    * und m teilt y-z
    ? dann auch: m teilt x-z ?

    Ist der Ansatz korrekt?


Sind meine Ideen richtig und wie kann ich bei dem Nachweis zur Transitivität fortfahren, wenn meine Anfangsideen überhaupt richtig waren?

Vielen Dank,
Pascal
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Man "darf" zwar nicht durch 0 teilen, aber das verlangt ja auch keiner. a|b heißt ja "a teilt b" und nicht umgekehrt. Das b darf ruhig 0 sein. Nun stellt sich also die Frage: Welche Werte darf a in a|0 annehmen? Anders gefragt: Durch welche Zahlen ist 0 teilbar?

Die Überlegungen zur Symmetrie sind korrekt.

Dem, was du zur Transitivität schreibst, kann ich nicht ganz folgen.
Wenn m den Term (a-b) teilt, dann ist (a-b) ein Vielfachens von m.
Wenn m den Term (b-c) teilt, dann ist (b-c) ein Vielfachens von m.
Ist (a-c) ein Vielfaches von m wenn das auf (a-b) und (b-c) zutrifft?
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

da komm ich immer durcheinander:
Also es heißt:
a|b, also a teilt b , also ist a ein Teiler von b , dann gibts ein c aus Z, sodass c*a=b

Man kann dann nach c umstellen: . Dann seh ich dass a nicht 0 sein darf. Aha, jetzt versteh ich deine Bemerkung: "Das b darf ruhig 0 sein"

Also darf a eine beliebige ganze Zahl sein. (oder so ähnlich).


Ich habe zur Transitivität versucht, ähnlich zu argumentiern, wie bei der allgemeinen Teilbarkeitsdefinition: a teilt b <=> es gibt ein c aus Z, sodass c*a=b.

Aber das, was du schreibst, ist einfach(er).
"Wenn m den Term (a-b) teilt, dann ist (a-b) ein Vielfachens von m.
Wenn m den Term (b-c) teilt, dann ist (b-c) ein Vielfachens von m.
Ist (a-c) ein Vielfaches von m wenn das auf (a-b) und (b-c) zutrifft?"

(a-c) ist dann ein Vielfaches von m, wenn es ein gibt, sodass . (?) Soll ich so weitermachen?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ist ok.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß trotzdem nicht richtig, wie ich da rangehen soll:

Ich muss nur überprüfen, ob ist:

[attach]19208[/attach]

Vielleicht gibt's einen kleinen Anstoss wie ich das hinkriegen soll?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft das weitert:



Das hattest du ja schon:





Und jetzt, der nächste Schritt:




Den Rest schaffst du selber.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »





und also ist m ein Teiler von a-b
außerdem , d.h. m ist ein Teiler von b-c

Wenn m ein Teiler von a-b ist, so gibt es ein x aus Z, sodass m*x = a-b
Wenn m ein Teiler von b-c ist, so gibt es ein y aus Z, sodass m*y = b-c

Weil also x und y ganze Zahlen sind ist deren Summe, also , auch ganz.

x = (a-b) / m
y = (b-c) / m

Dann ist die Relation auch transitiv !!
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Äquivalenz-) Relationen
In der dritten Aufgabe fehlt es mir wohl an Wortschatz:

Zitat:
Mengeninklusion auf der Potenzmenge

sagt mir nichts.

Ich weiß zwar, was die Potenzmenge ist; aber was ist denn eine Mengeninklusion auf der Potenzmenge?

Pascal
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Def. Mengeninklussion:
Eine Menge A ist genau dann in einer Menge B inkludiert, wenn ausnahmslos alle Elemente, die in A enthalten sind, auch in der Menge B enthalten sind. Dabei darf B auch zusätzliche Elemente enthalten, die in A nicht zu finden sind. (Das muss aber nicht zuwingend so sein).

Geschrieben wird das so:



Man sagt auch: "A ist eine Teilmenge von B" oder, gleichbedeutend: "B ist eine Obermenge von A", oder auch: "A ist in B inkludiert"


Die Potenzmenge P einer Menge M ist die Menge aller möglichen Teilmengen von M. Im vorliegenden Beispiel sind A und B (und natürlich auch M) Elemente der Potenzmenge, weil sie Teilmengen von M sind.

Hier geht es also um eine Relation (nämlich die Mengeninklussion), die zwischen Elementen der Potenzmenge P besteht, wobei jedes dieser Elemente selbst eine Menge ist.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Definition.

Die Mengeninklusion (Teilmengenbeziehung) ist doch antisymmetrisch?


Wenn A eine Teilmenge von B ist, so sind alle Elemente von A auch in B enthalten.
Und wenn B eine Teilmenge von A ist, so sind alle Elemente von B auch in A enthalten.
Daraus kann nur folgen, dass sie gleich sind A=B !

Stimmt das so?

Dann kann sie ja nicht symmetrisch sein?!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Dann kann sie ja nicht symmetrisch sein?!

Ja stimmt, aber inwiefern ist das ein Problem? verwirrt

Edit: Mal abgesehen davon, dass dies für A=B, also z.B. dann wenn M die leere Menge ist, auch wirklich möglich ist...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Pascal95
Dann kann sie ja nicht symmetrisch sein?!

Ja stimmt, aber inwiefern ist das ein Problem? verwirrt


Ich will sie ja auf Äquivalenzrelation untersuchen und die Symmetrie gehört nun mal dazu verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ich will sie ja auf Äquivalenzrelation untersuchen und die Symmetrie gehört nun mal dazu verwirrt

Aha, wußte ich nicht... Aber wie ich schon sagte, wenn ist, wirst du schwer so ein Gegenbeispiel finden... Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Edit: Mal abgesehen davon, dass dies für A=B, also z.B. dann wenn M die leere Menge ist, auch wirklich möglich ist...

Das versteh ich jetzt nicht ganz.
Was ist für A=B möglich, wenn M die leere Menge ist?

Aber jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst (reflexiv)
Edit: Die leere Menge ist dann auch Teilmenge von sich selbst?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, falls ist, dann besteht die Potenzmenge von M nur aus M allein...

Edit: Insbesondere ist dann die Mengeninklusion tatsächlich eine Äquivalenzrelation auf P(M)... Das mag jetzt nach Haarspalterei aussehen, aber man sollte solche Spezialfälle immer im Auge behalten, denn sie helfen, "den mathematischen Sachverstand zu schärfen"... Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Ja, falls ist, dann besteht die Potenzmenge von M nur aus M allein...


Meinst du, dass die leere Menge einziges Element der Potenzmenge von sich ist?
Kann man das so schreiben: ?

und das habe ich auch mal gehört:
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich dann davon ausgehen, dass M nicht die leere Menge ist, und wenn ja, wie soll ich fortfahren?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es um die Frage geht, ob die Relation auf eine Äquivalenzrelation ist, musst du für M diese Fallunterscheidung machen, ja....
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das richtig verstanden:
  • A und B sind stets Teilmengen von M.
  • Es soll untersucht werden, ob eine Äquivalenzrelation ist.


Dann wäre die Relationauf jeden Fall reflexiv, weil immer gilt, weil .
(????)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Reflexivität und Transitivität sind für klarerweise immer erfüllt...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Transitivität:

Aber Symmetrie gilt hier m.E. nicht, weil eben nicht folgern muss, das wäre nur im Falle richtig.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso macht ihr das alles so kompliziert?

Gefragt war, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist. Das kann sie nur sein, wenn symmetrisch ist. Das ist aber nicht der Fall. ist NICHT symmetrisch. Damit lässt sich die Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, ja ziemlich eindeutig beantworten, oder?


Nochwas:
Keine Menge kann mit ihrer eigenen Potenzmenge identisch sein. Die Mächtigkeit einer Potenzmenge (also die Anzahl ihrer Elemente) ist gleich 2 hoch der Mächtigkeit der ursprünglichen Menge.
Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element (nämlich die leere Menge), und damit um 1 Element mehr als die leere Menge (die ja kein Element enthält)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Wieso macht ihr das alles so kompliziert?

Gefragt war, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist. Das kann sie nur sein, wenn symmetrisch ist. Das ist aber nicht der Fall. ist NICHT symmetrisch. Damit lässt sich die Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, ja ziemlich eindeutig beantworten, oder?

Hm, ich fürchte, du solltest erst mal alles lesen, was dazu bisher gesagt wurde, nämlich dass die Eigenschaft der Symmetrie für die Mengeninklusion auf der Potenzmenge genau dann erfüllt ist, wenn ist... Forum Kloppe

Man kann sich ja darüberhinaus durchaus noch mit der Frage beschäftigen, ob wenigstens die anderen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation erfüllt sind (muss es aber nicht)...

Zitat:
Original von Hubert1965
Nochwas:
Keine Menge kann mit ihrer eigenen Potenzmenge identisch sein.

Wo steht das hier in diesem Thread? Bitte Zitat... verwirrt
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hubert1965
Gefragt war, ob die Relation eine Äquivalenzrelation ist. Das kann sie nur sein, wenn symmetrisch ist. Das ist aber nicht der Fall. ist NICHT symmetrisch. Damit lässt sich die Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, ja ziemlich eindeutig beantworten, oder?

Ich hatte Schwierigkeiten, die Aufgabe zu verstehen.
Also geht es nur darum, ob die Teilmengenbeziehung eine Äquivalenzrelation ist. Und das ist sie nicht, weil sie nicht symmetrisch ist.
Das habe ich allerdings schon erwähnt.
Ist die Frage damit eigentlich beantwortet ?

Zitat:
Original von Hubert1965
Nochwas:
Keine Menge kann mit ihrer eigenen Potenzmenge identisch sein. Die Mächtigkeit einer Potenzmenge (also die Anzahl ihrer Elemente) ist gleich 2 hoch der Mächtigkeit der ursprünglichen Menge.
Die Potenzmenge der leeren Menge enthält genau ein Element (nämlich die leere Menge), und damit um 1 Element mehr als die leere Menge (die ja kein Element enthält)

Ich glaube es gilt:

Kann man dazu einen Beweis finden?

beschreibt die Mächtigkeit von .
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
nämlich dass die Eigenschaft der Symmetrie für die Mengeninklusion auf der Potenzmenge genau dann erfüllt ist, wenn ist...

...weil nur ein Element enthält (?)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Zitat:
Original von Mystic
nämlich dass die Eigenschaft der Symmetrie für die Mengeninklusion auf der Potenzmenge genau dann erfüllt ist, wenn ist...

...weil nur ein Element enthält (?)

Rrrrrichtig... Freude

Insbesondere sieht man auch, dass man die Frage

Zitat:
Original von Hubert1965
Das kann sie nur sein, wenn symmetrisch ist. Das ist aber nicht der Fall. ist NICHT symmetrisch. Damit lässt sich die Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, ja ziemlich eindeutig beantworten, oder?

eben nicht so eindeutig mit JA oder NEIN beantworten kann, wie Hubert1965 offenbar glaubt, sondern man dafür eine Fallunterscheidung machen muss, was M betrifft.... Lehrer
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und zwar ob M eine leere Menge ist:
[attach]19223[/attach]

Davon hängt ab, ob diese Teilmengenbeziehung eine Äquivalenzrelation ist.

[SIZE=]Edit: Ist das denn richtig so?[/SIZE]
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Und zwar ob M eine leere Menge ist:
[attach]19223[/attach]

Davon hängt ab, ob diese Teilmengenbeziehung eine Äquivalenzrelation ist.

[SIZE=]Edit: Ist das denn richtig so?[/SIZE]

Ja, ist richtig so (wie oft eigentlich noch???)...

Hubert1965 drängt es nach obiger Bemerkung offenbar sehr, den Thread wieder zu übernehmen, was er gerne tun kann... Wink
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

Zitat:
Original von Mystic
Ja, ist richtig so (wie oft eigentlich noch???)...


Ok Big Laugh Ich wollte mich nur vergewissern ob man so diese Fallunterscheidung angeben kann, ich habe sie ja schließlich noch nicht erwähnt.

Ich hätte allerdings noch eine Frage:
Zitat:
Ich gehe nun davon aus, dass die leere Menge ist.
Dann ist die Relation angeblich symmetrisch.
Das heißt darf stets gefolgert werden.
, weil die einzige Teilmenge von eben ist.
Das gleiche gilt für , und zwar: .
Wenn also und Teilmengen von sind, so sind sie automatisch identisch.
Dann ist die Relation für eine Äquivalenzrelation (symmetrisch, weil immer gilt und auch ) und für eine Ordnungsrelation, weil sie auch antisymmetrisch ist ().

Ist diese Zusammenfassung richtig?

Aber warum spricht man dann von der "Mengeninklusion auf die Potenzmenge".
Eine Potenzmenge ist hier nicht explizit angegeben. Meint man damit einfach nur diese Teilmengenbeziehung, die ich auch erwähnt habe:

Vielen Dank fürs Lesen meiner Beiträge smile

Pascal
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Ist diese Zusammenfassung richtig?

Ich habe beim Überfliegen jetzt keinen Fehler gesehen, aber sie ist jedenfalls rekordverdächtig umständlich... Du solltest dir lieber überlegen, dass allgmein folgendes gilt

Satz: Eine Relation R auf einer 1-elementigen Menge ist genau dann eine Äuquivalenzrelation, wenn sie reflexiv ist.

das befreit nämlich die ganze Symbolik von unnötigem Ballast und man sieht dann auch besser, worauf es wirklich ankommt... Dieser Satz ist dann auf die 1-elememtige Menge anwendbar...

Zitat:
Original von Pascal95
Aber warum spricht man dann von der "Mengeninklusion auf die Potenzmenge".
Eine Potenzmenge ist hier nicht explizit angegeben. Meint man damit einfach nur diese Teilmengenbeziehung, die ich auch erwähnt habe:

Da es hier die ganze Zeit um Teilmengen von M geht, reden wir auch die ganz Zeit schon von der Potenzmenge , deren Elemente eben gerade die Teilmengen von M sind, und die Relation , um die es hier geht ist folgendermaßen definiert



Wahrscheinlich kommt deine Verwirrung daher, dass wir dann doch wieder überall geschrieben haben statt richtiger ...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Satz: Eine Relation R auf einer 1-elementigen Menge ist genau dann eine Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv ist.

weil Symmetrie und Transitivität klar sind.


oder

Dann vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen smile smile smile
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kein Problem... Augenzwinkern Wink
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