Zeilenraum/Spaltenraum

06.12.2006, 17:11

Yogi Löw

Zeilenraum/Spaltenraum

Hallo,
kann mir jemand sagen, was ein Zeilenraum und dann folglich ein Spaltenraum ist ?? verwirrt

Vielleicht mit einem kleinen Bsp ?) Hab das noch nie gehört...
Konkret soll ich prüfen, ob

$\begin{eqnarray*} (1,1,1)\in ZR(A) und (1,0,1,1)\in SR(B) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \in M_{3,3}(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{4,4}(\mathbb Z_2) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich schon dabei bin : Sei ( $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ ) eine Basis des
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums V. Sind die folgenden Mengen ebenfalls Basen ?

1) { $\begin{eqnarray*} b_1+b_2,b_1+b_3,b_2+b_3 \end{eqnarray*}$ }
2) { $\begin{eqnarray*} b_1+b_2,b_1+2b_2,b_2+b_3 \end{eqnarray*}$ }
3) { $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,0 \end{eqnarray*}$ }

Ich weiß, das Basen linear unabhängig sein müssen und Linearkombinationen ebenfalls wieder Basen sind. Also $\begin{eqnarray*} \alpha b_1 + \alpha b_2 + \alpha b_3 \end{eqnarray*}$ ist wieder eine Basis. Darf das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch null sein ? Wenn das so wäre, sind es doch alles wieder Basen, oder nicht???

06.12.2006, 17:16

Homer42

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der zeilenraum ist der von den zeilenvekoren aufgespannte raum, also für A:

Z:<(2,1,-3),(0,1,1),(1,-1,2)>

analog der spaltenraum.

sieht mir nach lina blatt 7 aus Augenzwinkern

demnach solltest du das auch in deinen vorlesungsunterlagen stehen haben Big Laugh

(ist aber nur ganz klein nebenbei mal erwähnt worden)

06.12.2006, 17:41

Yogi Löw

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wie, das ist alles ??? also kann ich beides verneinen...
und wie steht es mit meiner zweiten Frage ?
stimmt übrigens, ist lina blatt 7...

06.12.2006, 19:21

Mazze

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Zu Deinem zweiten:

Das dritte ist schonmal keine Basis weil jeder Vektor mit dem Nullvektor linear abhängig ist.

Du musst Dir erstmal überlegen was Du zeigen willst:

1)

$\begin{eqnarray*} \alpha_1(b_1 + b_2) + \alpha_2(b_1 + b_3) + \alpha_3(b_2 + b_3) = 0 \end{eqnarray*}$

Analog 2.

Zitat:

Darf das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch null sein

Damit das eine Basis ist müssen alle alpha Null sein. Sonst würde es eine nichttriviale Lösung geben und dann wären sie linear abhängig.

06.12.2006, 20:22

Yogi Löw

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...danke, aber das ist ja genau die Frage, ob die Alphas null sein dürfen...Wenn ja, sind das (1) & 2)) Basen, andererseits nicht...oder hab ich da nen Denkfehler drin ?

06.12.2006, 20:29

Mazze

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Zitat:

...danke, aber das ist ja genau die Frage, ob die Alphas null sein dürfen...Wenn ja, sind das (1) & 2)) Basen, andererseits nicht...oder hab ich da nen Denkfehler drin ?

Nein, Du hast das Prinziep nicht ganzverstanden. Wenn alle alphas = 0 die einzige Lösung ist, dann sind es Basen. Alpha = 0 ist immer eine Lösung, es muss wie gesagt die einzige Lösung sein.

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