Wahrscheinlichkeitsmaß - sigma Additivität

22.04.2011, 19:11

ChronoTrigger

Wahrscheinlichkeitsmaß - sigma Additivität

Hallo,

folgende Aufgabenstellung:

Es sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, F) \end{eqnarray*}$ ein Messraum und $\begin{eqnarray*} P_1, P_2: F \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei Wahrscheinlichkeitsmaße. Zeige:
die für $\begin{eqnarray*} \lambda \in (0,1) \end{eqnarray*}$ erklärte Abbildung $\begin{eqnarray*} P_\lambda: F \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_\lambda(A)=\lambda P_1(A)+(1-\lambda)P_2(A) \end{eqnarray*}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Nicht-Negativität und Normiertheit habe ich bereits zeigen können. Bei der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität bin ich mir noch unsicher:

Sei $\begin{eqnarray*} \{A_n \}_{n \in \mathbb N} \subseteq F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ paarweise disjunkt.

$\begin{eqnarray*} P_\lambda(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \lambda P_1(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)+(1-\lambda) P_2 (\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lambda \sum\limits_{n=1}^\infty P_1(A_n) + (1-\lambda) \sum\limits_{n=1}^\infty P_2(A_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=1}^\infty \lambda P_1(A_n) + \sum\limits_{n=1}^\infty (1-\lambda)P_2(A_n) \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich mir unsicher, ob ich Reihen auch so zusammen fassen darf. Bei endlichen Summen geht das problemlos, aber ich weiß nicht, ob ich aus 2 Reihen auch eine machen darf.

Falls ich das machen darf, würde herauskommen:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda P_1(A_n) +(1-\lambda) P_2(A_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty P_\lambda(A_n) \end{eqnarray*}$

so würde ich auf das richtige Ergebnis kommen, falls dieser Schritt erlaubt ist.

Darf ich das so machen, oder muss ich hier anders vorgehen?

danke schonmal im voraus.

22.04.2011, 19:53

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeitsmaß - sigma Additivität

Zitat:

Original von ChronoTrigger
jetzt bin ich mir unsicher, ob ich Reihen auch so zusammen fassen darf. Bei endlichen Summen geht das problemlos, aber ich weiß nicht, ob ich aus 2 Reihen auch eine machen darf.

Falls ich das machen darf, würde herauskommen:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \lambda P_1(A_n) +(1-\lambda) P_2(A_n) = \sum\limits_{n=1}^\infty P_\lambda(A_n) \end{eqnarray*}$

so würde ich auf das richtige Ergebnis kommen, falls dieser Schritt erlaubt ist.

Darf ich das so machen, oder muss ich hier anders vorgehen?

danke schonmal im voraus.

Ja, das ist hier erlaubt

22.04.2011, 19:54

ChronoTrigger

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danke

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Wahrscheinlichkeitsmaß - sigma Additivität

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