teilerfremde Zahlen

23.04.2011, 11:59	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
teilerfremde Zahlen Hallo! Ich bin momentan ein wenig ratlos und weiß nicht, wie ich folgendes beweisen kann. a) Es seien $\begin{eqnarray} a, b \in \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ teilerfremd und es gelte $\begin{eqnarray} ab = \epsilon c^n \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und Elemente $\begin{eqnarray} c \in \mathbb Z[i], \epsilon \in '\mathbb Z[i]^x \end{eqnarray}$ . Zeige: es gibt Einheiten $\begin{eqnarray} \epsilon', \epsilon'' \in \mathbb Z[i]^x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d, e \in \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = \epsilon'd^n, b = \epsilon''e^n \end{eqnarray}$ . b) Es sei (x,y,z) ein Tripel teilerfremder natürlicher Zahlen und $\begin{eqnarray} x^2+y^2=z^2, a= x+iy \in '\mathbb Z[i]^x \end{eqnarray}$ . Zeige mithilfe a), dass es dann $\begin{eqnarray} r \in \mathbb Z[i], \epsilon \in '\mathbb Z[i]^x \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} a = \epsilon r^2 \end{eqnarray}$ Ich habe bei a) leider keine gute Idee gefunden bisher, wie ich davon schließen kann, dass es diese Einheiten und Elemente gibt und dann der ggT = 1 wird... wäre super, wenn ihr mir ein wenig helfen könntet! Bin für jeden Tipp dankbar. Liebe Grüße
23.04.2011, 14:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb Z[i] \end{eqnarray}$ ist euklidisch, also ein Hauptidealring, also faktoriell. Damit zerfällt $\begin{eqnarray} ab=\epsilon c^n \end{eqnarray}$ wie gewünscht.

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