Trajektorie einer DGL: Richtungssinn

23.04.2011, 15:10	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Trajektorie einer DGL: Richtungssinn Hallo Leute, zur DGL: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soll eine Lösung erraten und ein Phasenportrait erstellt werden. Als eine Lösung habe ich herausgefunden: $\begin{eqnarray} \phi(t) = \begin{pmatrix} acos t \\ asin t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die zugehörigen Trajektorien liegen auf konzentrischen Kreisen um den Ursprung. Nun soll auch der Richtungssinn dieser Kreise angegeben werden. Ich hab das (nach dem Buch von Aulbach) so verstanden, dass die Pfeile, die man in das Phasenportrait einträgt in die Richtung wachsender Werte für t zeigt (was ich auch schon bei anderen Beispielen, bei denen zum Beispiel eine Komponente der Lösung konstant war und die andere davon abhing auch verstanden habe). Aber hier kann ich das nicht anwenden. Setze ich nun einfach ein bel. t ein und vergleiche den Funktionswert, der herauskommt mit dem für ein größeres t? Wäre wirklich toll, wenn mir jemand die Sache mit der Durchlaufrichtung anschaulich erklären könnte. Vielen Dank schon mal im Vorraus!
23.04.2011, 16:08	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vorgehensweise ist richtig, so kannst du es machen. Andere Vorgehensweise: Setze ein beliebiges t ein und bestimme $\begin{eqnarray} \phi'(t) \end{eqnarray}$ . Die Richtung dieses Vektors zeigt dir auch die Durchlaufrichtung der Trajektorie ein. Übrigens: Dein $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ stimmt nicht, wenn ich die erste Komponente ableite, kommt -a sin(t) heraus, das ist ungleich a sin(t). Aber die Lösung ist fast richtig.
24.04.2011, 09:48	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Cel, vielen Dank für deine nette Antwort :-) Ich habe mich bei der DGL leider verschrieben, sie sollte lauten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann müsste meine Lösung auch stimmen :-) Ich habe mir die besagten Kreise nochmal aufgemalt und versuche nun auf die Richtung zu kommen. Wenn ich in meine Lösung $\begin{eqnarray} \phi(t) = \begin{pmatrix} acos t \\ asin t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun (für a = 1) nun ein beliebiges $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einsetze, also z.B. $\begin{eqnarray} t = (0,2) \end{eqnarray}$ , dann erhalte ich $\begin{eqnarray} \phi(t) = (1 ; 0,9) \end{eqnarray}$ . Für ein weiteres, also $\begin{eqnarray} t = (2,0) \end{eqnarray}$ erhalte ich $\begin{eqnarray} \phi(t) = (-0,41 ; 0) \end{eqnarray}$ . Der Wert in der x-Komponente wurde also kleiner, genauso wie der in der y-Komponente. Aber wie kann ich meine t-Werte vergleichen? Welcher ist hier "größer" und welcher "kleiner"? Oder mache ich das einfach komponentenweise: also für wachsendes t in der x-Komponente wird die Lösung dort kleiner, für fallendes t in der y-Komponente wird die Lösung ebenfalls kleiner. Wie komme ich damit nun auf die Richtung? Und zu deinem Vorschlag: es gilt ja: $\begin{eqnarray} \phi'(t) = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Setze ich nun dort wieder mein $\begin{eqnarray} t = (0,2) \end{eqnarray}$ ein, so komme ich auf $\begin{eqnarray} \phi'((0,2)) = \begin{pmatrix} 0 \\ -0,416 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dieser Vektor würde ja gerade in Richtung der y-Achse (die trage ich vertikal nach oben ab) zeigen. Für ein $\begin{eqnarray} t = (1,\sqrt{3}) \end{eqnarray}$ , der Punkt liegt auf dem Kreis mit Radius 4, komme ich auf $\begin{eqnarray} \phi'(t) = \begin{pmatrix} -0,84 \\ -0,16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , was von t ausgehend irgendwie nach links unten zeigt, wo ich aber nicht wirklich die Richtung der Trajektorie ablesen kann. In meiner Musterlösung jedoch laufen alle Pfeile im Uhrzeigersinn. Wie du siehst, verstehe ich nicht wirklich, wie ich auf die Durchlaufrichtung kommen soll, dabei scheint es nicht so schwer zu sein, aber irgendwie verstehe ich es nicht :-). Vielleicht könntest du mir die Vorgehensweise kurz mit ein paar t-Werten näherbringen. Vielen Dank :-) edit: Ohje, ich sehe gerade, dass ich ein großes Foul gemacht habe. t ist ja nicht aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , sondern einfach eine Zahl aus $\begin{eqnarray} /mathbb R \end{eqnarray}$ . Aber für wachsende t's komme ich trotzdem auf nix brauchbares. Wäre echt toll, wenn wir jemand auf die Sprünge helfen könnte!
24.04.2011, 11:11	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, du hast deinen Irrtum ja doch selbst erkannt, es ist $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Merk es dir so: t bezeichnet die Zeit, die vergeht und die muss reell sein. Gut, dann nehmen wir mal deine Trajektorie $\begin{eqnarray} \phi(t) = \begin{pmatrix}\cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Vorgehensweise: Einsetzen: Wir setzen zwei Werte $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_1 < t_2 \end{eqnarray}$ ein, zum Beispiel $\begin{eqnarray} t_1 = 0,~t_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Wir gucken also, was passiert, wenn t größer wird. Es gilt $\begin{eqnarray} \phi(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},~\phi\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zeichne die beiden Punkte auf dem Einheitskreis ein. Um von (1,0) nach (0,1) zu kommen, musst du ihm gegen den Uhrzeigersinn folgen. Die Pfeile zeigen in Richtung wachsender t-Werte, wie du schon sagst. Wir starten zur Zeit 0 in (1,0) und kommen zur Zeit Pi/2 in (1,0) an. Deine Lösung stimmt also nicht. Übrigens musst du hier aufpassen. DIe Wahl von $\begin{eqnarray} t_2 = \pi \end{eqnarray}$ bringt dir keine wesentliche Information, setze also lieber ein, zwei Werte mehr ein, um zu sehen, was passiert. Ableitung: Wir leiten $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ an einer gewählten Stelle ab. Nehmen wir wieder einer einfachen Wert t = 0. Es gilt $\begin{eqnarray} \phi(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},~\phi'(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Der Tangentialvektor in diesem Punkt zeigt also senkrecht nach oben, wir müssen dieser Richtung auf der Trajektorie folgen. Also auch gegen den Uhrzeigersinn. Mein Tipp: Mach immer die Methode der Ableitung, da man in den meisten Fällen bei dynamischen Systemen keine Lösung bestimmen kann, wohl aber das Phasenraumporträt. Das mathematische Pendel ist so ein Beispiel, die zugehörige DGL kann man nicht lösen. Aber man kann trotzdem Trajektorien zeichnen.
25.04.2011, 13:55	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank, Cal, für deine nette und ausführliche Antwort! Jetzt hab ichs wirklich verstanden danke!

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