Tangentialraum Produktmannigfaltigkeit

23.04.2011, 16:34	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialraum Produktmannigfaltigkeit Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray}$ eine k-dimensionale und $\begin{eqnarray} N\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eine l-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Seien $\begin{eqnarray} a\in M, b\in N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie für die Tangentialräume: $\begin{eqnarray} T_{(a,b)}(M\times N)=T_aM\times T_bN \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wenn M und N Untermannigfaltigkeiten wie oben beschrieben sind, so ist $\begin{eqnarray} M\times N \end{eqnarray}$ eine (k+l)-dimensionale Untermannigfaltigkeit, das hatte ich schonmal bewiesen, muss ich hier also nicht mehr zeigen. Außerdem gilt, da M und N Untermannigfaltigkeiten sind: Zu jedem $\begin{eqnarray} a\in M \end{eqnarray}$ ex. eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} V\subseteq M \end{eqnarray}$ , eine offene Menge $\begin{eqnarray} T\subseteq \mathbb R^k \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \phi: T\to V \end{eqnarray}$ lokale Karte ist. Es sei $\begin{eqnarray} \phi(c)=a, c\in T \end{eqnarray}$ . Ebenso ex. eine lokale Karte $\begin{eqnarray} \tilde \phi:\tilde T\to \tilde V \end{eqnarray}$ für N. Und es sei $\begin{eqnarray} \tilde \phi(d)=b, d\in \tilde T \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (\phi,\tilde \phi):T\times \tilde T\to V\times \tilde V \end{eqnarray}$ eine lokale Karte für $\begin{eqnarray} M\times N \end{eqnarray}$ . Dann ist nach einem Satz für $\begin{eqnarray} (a,b)\in M\times N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} T_{(a,b)}(M\times N)=Bild(D(\phi,\tilde \phi)(a,b))=<\frac{\partial(\phi,\tilde \phi)}{\partial t_1}(a,b),\hdots,\frac{\partial(\phi,\tilde \phi)}{\partial t_{k+l}}> \end{eqnarray}$ , wobei letzterer Ausdruck Basis ist. Aber ist nicht nun: $\begin{eqnarray} <\frac{\partial(\phi,\tilde \phi)}{\partial t_1}(a,b),\hdots,\frac{\partial(\phi,\tilde \phi)}{\partial t_{k+l}}(a,b)>=\underbrace{<\frac{\partial \phi}{\partial t_1}(a),\hdots,\frac{\partial \phi}{\partial t_k}(a)>}_{=Bild(D\phi(a))=T_aM}\times \underbrace{<\frac{\partial \tilde \phi}{\partial t_1}(b),\hdots,\frac{\partial \tilde \phi}{\partial t_l}(b)>}_{=Bild(D\tilde \phi(b))=T_bN} \end{eqnarray}$ ? Ist das so in Ordnung?
24.04.2011, 12:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat niemand eine Antwort für mich?
17.07.2011, 18:05	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist zwar schon etwas her, aber ich würde mich immer noch über eine Antwort freuen. Ich bleibe bei meiner Version, wobei ich sie noch etwas übersichtlicher schreiben möchte. Laut einem Satz ist $\begin{eqnarray} M\times N \end{eqnarray}$ eine (k+l)-dimensionale UMF. Wenn man sich für diese nun eine Karte $\begin{eqnarray} \varphi: U\to V\subseteq R^{2n} \end{eqnarray}$ , U offen in $\begin{eqnarray} R^{k+l} \end{eqnarray}$ und einen Punkt $\begin{eqnarray} (a,b)\in M\times N \end{eqnarray}$ , so bilden laut diesem Satz mit $\begin{eqnarray} \varphi(c)=(a,b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial \varphi}{\partial t_1}(c),\hdots ,\frac{\partial \varphi}{\partial t_{k+l}}(c) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} T_{(a,b)}(M\times N) \end{eqnarray}$ . Nun kann man diese Basis doch aber auch sich so entstanden denken: Die ersten k Vektoren dieser Basis $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ Die Vektoren k+1 bis l. Und diese "Teile" der Basis erzeugen ja $\begin{eqnarray} T_a(M) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} T_b(N) \end{eqnarray}$ (wieder jeweils mit Karten und Urbildern usw.) Ist das so korrekt? Ich finde das eigentlich ganz plausibel, das über die Basen zu zeigen.
18.07.2011, 11:39	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wundere mich, dass bisher niemand geantwortet hat. Ich dachte, diese Aufgabe sei für viele hier eine Fingerübung. Naja.

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