Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis

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Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Meine Frage:
Die Punkte A(-4/1/5) und B (0/1/1) sind Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Eckpunkt C auf g: X= (1/-2/2)+ t(3/1/-1) liegt. Dieses Dreieck ist Grundfläche einer Pyramide mit gleichlangen Seitenkante und der Raumhöhe h=6 mal Wurzel2. Berechnen Sie die Koordinaten von C, die der beiden möglichen Pyramidenspitzen und das volumen der Pyramide!

Ergebnisse:
C(-2/-3/3)
S1(4/0/9)
S2(-8/0/-3)
V=32

Meine Ideen:
Hallo, ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Ich habe in zwei Wochen Matura und bisher konnte mir niemand beim Lösen dieser Maturaaufgabe helfen.

Mit freundlichen Grüßen,
Kantikant
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Lautet der Aufgabentext auch im Original so wie hier gepostet?
Es wird nämlich vorausgesetzt, dass die Seite AB die Basis des gleichschenkeligen Dreiecks ist, was aber nirgends klar gesagt wird; es könnte genauso gut ein Schenkel sein, dann gäbe es mehrere Lösungen.

Aber egal, wir wissen, dass es so ist.

Ich habe einen Lösungsweg, aber dazu müßtest Du mit Geraden und Ebenen im 3D-Raum rechnen können.
Wie weit beherrschst Du dieses Gebiet, und was wäre Dein Lösungsansatz?
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
mit AB als basis des gleichschenkeligen 3ecks ist es einfach C zu finden.

schneide die "mittelsenkrechte" ebene zu AB mit g.

der 2.teil ist meiner meinung nach schwieriger, kann aber mit dem pythagoras und dem normalenvektor der "trägerebene" von A, B und C erledigt werden



alternativ kann man sich natürlich überlegen, welcher punkt im 3eck von allen eckpunkten gleichen abstand hat, und diesen zur berechnung der spitze verwenden.
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Hallo,

Ja der Aufgabentext lautet im Original so!

Also ich muss gestehen ich habe gar keinen Ansatz.
Zu erst wollte ich eine Ebene mit der Geraden schneiden, damit ich auf C komme.
Hat ja "riwe" auch vorgeschlagen. Allerdings find ich hier keine Ebene, die ich aufstellen kann. Ich weiß auch nicht was jetzt die "mittelsenkrechte" Ebene zu AB sein soll. verwirrt

Ansonsten kann ich, glaub ich (!), schon mit Geraden und Ebenen im 3-dimensionalen Raum arbeiten, wenn es nicht zu schwer ist. Bin nicht so das Mathegenie!

Und bezüglich dem zweiten Teil.. Mit der Formel.. Ich versteh nur Bahnhof traurig

Aber danke schon mal für eure Antworten. smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
eine "mittelsenkrechte" ebene ist eine ebene, die durch den mittelpunkt der strecke AB geht und deren normalenvektor ist.
jetzt darfst du raten, warum unglücklich

diese ebene schneidest du mit g, damit hast du C.

wenn du ekel vor der "mittelsenkrechten" ebene empfindest, löse



steht für die gerade g

teil 2: das ist keine "formel", sondern der/die ortsvektor/en der spitze/n.

dann versuche es halt über den alternativen tipp Augenzwinkern
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Uuuh oke, danke! Das wusste ich nicht! Big Laugh
Wie gesagt: Bin nicht so die Matheleuchte und kenn mich nicht so gut aus! unglücklich
Aber ich denk, das mit der Ebene krig ich jetzt auf die Reihe. smile

Teil 2:
Ja schon, nur weiß ich nicht was das x und Strecke OMAB sein sollen.
(Sry, dass ich nicht so schöne Streckenzeichen machen kann usw. Weiß nicht wie das funktioniert. Ich hoffe, es is trotzdem klar was ich meine Augenzwinkern )

Aber ich denk ich probier das lieber mit dem alternativen Tipp Augenzwinkern
Dieser Punkt, der zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand hat, nennen wir ihn F, befindet er sich genau unter S? So, dass ich F+h rechnen kann, damit ich S bekomme? verwirrt

Aaaah... Forum Kloppe
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
mach´s der reihe nach.
stelle deine rechnung zu 1 hier rein

zu 2) nennen wir ihn nicht F sondern U.
hast du noch immer keine ahnung, welcher besondere punkt im 3eck dies sein könnte verwirrt
und ja, genau über bzw. unter - nördlich oder südlich - diesem punkt befindet/n sich die spitze/n der pyramide/n
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Okay, ich stell die Rechnung nacher rein, wenn ich s gerechnet habe!

Naja ich wüsst blos, dass bei nem Tetraeder man den Schwerpunkt mit (A+B+C)/3 ausrechnet. Aber das hab ich schon probiert und als ich dann h dazu gerechnet habe, bin ich nicht auf S gekommen, also kanns das nicht sein.

Und nen andren punkt wüsst ich eigentlich nicht.. unglücklich
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Zitat:
Original von Kantikant
Okay, ich stell die Rechnung nacher rein, wenn ich s gerechnet habe!

Naja ich wüsst blos, dass bei nem Tetraeder man den Schwerpunkt mit (A+B+C)/3 ausrechnet. Aber das hab ich schon probiert und als ich dann h dazu gerechnet habe, bin ich nicht auf S gekommen, also kanns das nicht sein.

Und nen andren punkt wüsst ich eigentlich nicht.. unglücklich


na dann denk mal nach: was gibt es denn neben dem schwerpunkt - das ist eben der punkt nicht - noch für besondere punkte im 3eck verwirrt
umgekehrt:
wie heißt denn der geometrische ort aller punkte, darunter A, B und C, die von einem gegebenen punkt U denselben abstand r haben verwirrt Augenzwinkern
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Okay, in dem fall der Umkreismittelpunkt?

Aber warum konnte ich den Schwerpunkt nicht nehmen? verwirrt
Das ist nicht ganz ersichtlich für mich..

Ah ja, und C hab ich jetzt ausgerechnet. Ist das richtige raus gekommen, dankeschön Freude
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
ja, es ist der umkreismittelpunkt, das war doch eine gute hilfe, oder Augenzwinkern

das solltest du dir doch nun selbst klar machen können, warum das so ist unglücklich

neue, alte frage: was ist der geometrische ort......
beschreibt nun der schwerpunkt den mittelpunkt dieses kreises oder..... verwirrt

edit: und da wir uns ja in R3 befinden und nicht in der ebene,
gibt es nicht nur EINEN sochen punkt U, sondern unendlich viele davon, die alle wo liegen verwirrt
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Ja danke, auch ich Dummbatz habs jetzt kapiert Hammer

Und es kann nicht der Schwerpunkt sein, weil der Schwerpunkt eben nicht der geometrische Ort ist. Sprich, er ist nicht zu S kongruent. Lehrer

Okay ja, das wollt ich eben fragen, bzw. mein nächstes Problem.
Wie soll ich nen Umkreismittelpunkt im dreidimensionalen Raum ausrechenen?
Und es gibt unendlich viele davon die all am selben Ort liegen ?! verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
zur letzten frage: nein so nicht unglücklich

in der ebene E, die durch die eckpunkte des dreiecks A, B und C aufgespannt wird, gibt es einen einzigen punkt, der....., nämlich den umkreismittelpunkt U.

im raum es gibt allerdings unendlich viele punkte, die von A, B und C denselben abstand haben, und zwei davon haben von der grundfläche den SENKRECHTEN abstand .

nachdem ich dir das stichwort geliefert habe; wo werden diese punkte alle liegen verwirrt


teil2:
der umkreismittelpunkt ist der schnittpunkt der seitenhalbierenden und liegt in E.
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Ah, kapisch! Das wären in unserem Falle S1 und S2.

Ja gut, aber ich hab immer noch das Problem mit dem Umkreismittelpunkt.
Ich weiß nicht wie ich den berechnen soll. Ich hab dazu die Seitensymmetralen. Das weiß ich. Aber was ich mit den Seitensymmetralen anfangen soll und wie ich diese wiederum bekomme ist mir ein Rätsel. Denn Für die Seitensymmetralen brauch ich ja nen Normalvektor. Man rechnet sie ja AB/2 + t mal nAB aus. Aber wie bekomm ich den Normalvektor im dreidimensionalen Raum für die?

Wenn ich ganz normal AB x AC rechne zeigt der Normalvektor ja zu S. Und nicht zu U.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
die mittelsenkrechte smile (in österreich seitenhalbiuerende) gerade zu der seite c = AB bekommst du so:



warum: die gerade geht durch den mittelpunkt von AB liegt in E (kreuzprodukt) und steht senkrecht auf AB (zweites kreuzprodukt)

jetz stellst du die mittelsenkrechte gerade zu AC auf und schneidest die beiden, damit hast du U
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Okay, hab ich alles.
Muss ich die Mittelsenkrechten in ne bestimmte Form bringen um sie mit einander zu schneiden, oder? Parameterform, nicht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
du mußt sie einfach nur schneiden!
Kantikant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Jap, hab ich gemacht. Dachte zu erst ich muss sie vielleicht noch in eine andere Form umwandeln..

Aber.. Haaallelujah, nach 2,5h bin ich endlich mit dem verdammten Beispiel fertig und alles richtig! Tanzen

Ohmann, vielen Dank für die Hilfe Gott Hätt ich sonst NIEMALS auf die Reihe bekommen!

Falls ich mit den restlichen 26 Maturabeispielen die noch übrig sind, Probleme haben werde (was ziemlich sicher der Fall sein wird!) werd ich mich einfach hier nochmal melden und auf ne Antwort von dir hoffen Augenzwinkern Danke, hat mir wirklich geholfen smile

Lg
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pyramide mit gleichschenkligem Dreieck als Basis
Freude
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