formel bayes |
| 24.04.2011, 04:17 | Semih | Auf diesen Beitrag antworten » |
| formel bayes Könnte mir vielleicht jemand die formel von bayes ausführlich erklären und mit einer geeigneten Aufgabe verdeutlichen? Vielen Dank .... Meine Ideen: Wie kommt man auf inverses Baumdiagramm? |
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| 24.04.2011, 11:59 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beispiel Aids-Test: Mike, ein junger Mann, 25 Jahr alt, der keiner Risikogruppe angehört, kommt zum Arzt und lässt einen Aids-Test machen. Der Arzt sagt ihm kurz darauf, dass der Test positiv war. Was heißt das für Mike? Jezt mal die Zahlen, die wir zum rechnen brauchen: Wer sich keine Drogen spritzt, nicht jede Woche einen neuen Sexualpartner hat und nicht wegen einer Krankheit häufig Blutplasma oder Vollblut-Transfussionen bekommt, trägt im Alter von 25 Jahren mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 10.000 das HI-Virus in sich. (Diese Zahl ist von mir für das Rechenbeispiel geschätzt, stimmt also nicht mit dem realen Wert überein.) Unter 10.000 Menschen, die keiner Risikogruppe angehören, ist also einer, der sich trotzdem angesteckt hat. HIV-Tests können, wie alle medizinischen Tests, falsche Ergebnisse liefern. Es gibt falsch-positive und falsch-negative Ergebnisse: Falsch-positiv: Wenn 1.000 Menschen, die kein HI-Virus in sich tragen, getestet werden, zeigt der Test bei 1 von ihnen ein positives Ergebnis an (z.B. weil sie eine harmlose Krankheit haben, die dazu führt, dass sich im Blut dieser Menschen Substanzen befinden, die sonst nur von HI-Viren erzeugt werden) Falsch-negativ: Unter 100 Menschen, die sich mit dem HI-Virus angesteckt haben, ist durchschnittlich einer, bei dem der Test die Infektion nicht erkennt (z.B. Weil Menschen mit einer selten vorkommenden Erbanlage Substanzen im Blut haben, die die chemische Reaktion beim Test stören). Nun die Frage: Mike, der keiner Risikogruppe angehört, erfährt von Arzt, dass der Aids-Test positiv war, also eine HIV-Infektion anzeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist? Gehen wir (weil man damit leichter rechnen kann) von einer Grundgesamtheit von 10.000.000 Menschen aus. Davon ist jeder zehntausendste Träger des HI-Virus. Wir haben also zwei Äste in unserem Baum: Links die Infizierten (Anteil=0,0001), das sind 1.000 infizierte Personen Rechts die Gesunden (Anteil=0,9999), das sind 9.999.000 gesunde Personen. Wenden wir uns den infizierten, also dem linken Ast zu: Bei jedem hundertsten von ihnen (Anteil=0,01) zeigt der Test nichts an. Also: Krank, trotzdem negativ: 0,0001 * 0,01 = 0,000001. Bei einer Grundgesamtheit von 10.000.000 sind das genau 10 Personen Bei den restlichen 990 kranken Menschen wird die Infektion erkannt. Also: Krank, und positiv: 0,0001 * 0,99 = 0,000099, oder eben 990 Person Nun schauen wir uns die Gesunden an: Es gibt 9.999.000 gesunde Menschen. (Anteil an Gesamtheit: 0,9999). Bei jedem tausendsten von ihnen (Anteil = 0,001) wird fälschlicherweise eine Infektion angezeigt. Also: Gesund, aber mit (falschem) positivem Ergebnis: 0,9999 * 0,001 = 0,0009999, das sind 9.999 Person Gesund, und richtigerweise negatives Ergebnis: 0,9999 * 0,999 = 0,9989001, das sind 9.989.001 Person Damit haben wir den Baum fertig gezeichnet und an die 4 Enden auch die richtigen Anteile hingeschrieben (Probe: Die Summe aller vier Anteile muss 1 ergeben!) Wir wissen, nun dass Mike ein positives Ergebnis erhalten hat. Es gibt zwei Endstellen im Baum, die zu einem positivem Testergebnis gehören. Das sind, in meiner Reihenfolge, die beiden mittleren Äste des Baums: Krank, und positiv: 0,0001 * 0,99 = 0,000099, oder eben 990 Person Gesund, aber mit (falschem) positivem Ergebnis: 0,9999 * 0,001 = 0,0009999, das sind 9.999 Person Wir haben also 990+9999 = 10.989 Personen mit positivem Testergebnis, und Mike ist eine dieser Personen. Diese Gruppe hat an der Gesamtheit diesen Anteil: 0,000099 + 0,0009999 = 0,0010989. Wirklich infiziert sind davon aber nur 990 Personen (Gesamt-Anteil: 0,000099). Ihr Anteil, bezogen auf die Personen mit positivem Ergebnis ist: Also nur rund 9% aller positiv getesteten sind tatsächlich infiziert. Mike ist also (wie jeder, der ein positives Ergebnis mitgeteilt bekommen hat) mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 89% trotzdem gesund. Daher muss jeder, der ein positives Ergebnis erhalten hat, nocheinmal mit einem anderen, aufwendigeren Test getestet werden. |
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