Hyperbelfunktionen beweis

06.12.2006, 18:07

matheloser4

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Hyperbelfunktionen beweis

Huhu,

ich soll zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} cosh^2 -sinh^2 =1 \end{eqnarray*}$

habe dann das hier genommen:

$\begin{eqnarray*} sinh=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cosh=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}))^2 - (\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) )^2 =1 \end{eqnarray*}$

dann tu ich quadrieren und komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} e^{-x}=1 \end{eqnarray*}$

:-( was stimmt denn da nicht?

06.12.2006, 18:55

klarsoweit

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RE: Hyperbelfunktionen beweis
Erstmal hast du cosh und sinh nicht richtig eingesetzt und zweitens, wie hast du die Klammern ausmultipliziert?

06.12.2006, 19:01

matheloser4

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also gut was heißt falsch eingesetzt mhh

hab ich das quadrat falsch gesetzt oder wie?

danke bis hier schonmal!

06.12.2006, 19:04

klarsoweit

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RE: Hyperbelfunktionen beweis
Schau dir deine Rechnung nochmal genau an:

Wenn $\begin{eqnarray*} cosh(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$ ist, was ist dann $\begin{eqnarray*} (cosh(x))^2 \end{eqnarray*}$ ?

06.12.2006, 19:10

mathel

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also ich hab gerechnet:

nach quadrieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) - \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^x +\frac{1}{2}e^-x -\frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^-x=1 \end{eqnarray*}$

und dann fällt ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^x \end{eqnarray*}$ weg und es steht da:

$\begin{eqnarray*} e^-x=1 \end{eqnarray*}$

hm?

06.12.2006, 19:15

mloser4

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aso ist

$\begin{eqnarray*} cosh^2(x)= \frac{1}{4}(e^x +e^{-x}) \end{eqnarray*}$ ???

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07.12.2006, 18:43

matheloser05

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RE: Hyperbelfunktionen beweis
was stimmt denn nun? weiß einer rat? ; unglücklich

unglücklich

07.12.2006, 20:21

inf1nity

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RE: Hyperbelfunktionen beweis
Nabend,

als erstes wäre es mal sinnvoll, dass du dir veranschaulichst was folgendes ergibt:
$\begin{eqnarray*} (e^x+e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$
Das ist ein Binom, wie man leicht sieht. Wie man das berechnet dürfte klar sein oder?
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{eqnarray*}$
Und noch etwas:
$\begin{eqnarray*} (e^x)^2=e^{x*2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^e \cdot a^f=a^{e+f} \end{eqnarray*}$

Das dürfte jetzt ausreichend Handwerkszeug sein, damit du dem Problem an den Kragen gehen kannst.

Gruß

inf1nity

07.12.2006, 21:38

matheloser5

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vielen dank das hilft mir schonmal, nur ich weiß erstmal nicht wie ich das ganze richtig einsetze

"klarsoweit" meinte ja ich habe da einen fehler was is denn nun

$\begin{eqnarray*} cosh^2= ? \end{eqnarray*}$

genau, wenn ich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (e^x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

einsetze? was muss ich quadrieren alles? oder nur das 1/2 oder nur (e^x+e^-x) ? oder was hab ich da oben falsch gemacht?!

mfg
mathel

07.12.2006, 22:17

inf1nity

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Na ausrechnen werde ich dir das nicht ...

mal allgemein:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{a}{b} \cdot (c + d) \right)^2 = \frac{a^2}{b^2}\cdot (c+d)^2 \end{eqnarray*}$
Jetzt wende doch bitte die binomische Formel an und den Rest von dem Werkzeug was ich dir an die Hand gegeben hatte.

08.12.2006, 08:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von mloser4
aso ist

$\begin{eqnarray*} cosh^2(x)= \frac{1}{4}(e^x +e^{-x}) \end{eqnarray*}$ ???

Falsch. Wie die anderen schon sagten: mit den binomischen Formeln hast du es nicht. Leider postest du auch keine Zwischenschritte, s0 daß man nicht sagen kann, wo deine Fehler herkommen.

08.12.2006, 10:52

matheloser5

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so habs nun nochmal versucht:

erstmal eine frage kann ich eigentlich nicht das quadrat wegkriegen in dem ich wurzel ziehe also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) - \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) =\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

habs aber nun mal so wie inf1inty versucht!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2 - \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^{2x}+e^{-x+x}+e^{-x+x}+e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x}-e^{-x+x}-e^{-x+x}+e^{-2x}) =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x}) =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^{2x}+2+e^{-2x} - e^{2x}+2-e^{-2x}) =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(4) =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$

stimmt das bis hier??

danke für eure gedult!
mfg
mathel

08.12.2006, 11:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheloser5
erstmal eine frage kann ich eigentlich nicht das quadrat wegkriegen in dem ich wurzel ziehe also so:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}) - \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) =\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Da hast du wohl die bei Schülern beliebte "Regel" $\begin{eqnarray*} a - b = c \Rightarrow \sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ angewendet.
Setze mal a = 9 und b = 4. Und, stimmt's? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von matheloser5
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2 - \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2 =1 \end{eqnarray*}$

Die Rechnung ist ok. Rein formal hätte ich das aber so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2 - \frac{1}{4}(e^x-e^{-x})^2 = \text{ diverse Umformungen } = 1 \end{eqnarray*}$

Bei deinem Vorgehen fängst du mit der zu beweisenden Behauptung an und machst dann Umformungen bis eine wahre Aussage da steht. Das kann man so machen, man muß aber darauf achten, daß man dann wirklich Äquivalenzumformungen macht (das ist hier der Fall). Entsprechend sollte man das dann auch kennzeichnen.

08.12.2006, 11:31

matheloser5

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okay vielen dank!!

der b)Teil der aufgabe ist das:

$\begin{eqnarray*} cosh(x+y)=diverse umformungen= coshx\cdot coshy + sinhx \cdot sinhy \end{eqnarray*}$

habs nun mal so eingesetzt und versucht zu rechnen wie ihr mir es oben schon gezeigt habt...

also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (e^x+e^{-x})\cdot \frac{1}{2} (e^y+e^{-y})+\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})\cdot \frac{1}{2} (e^y-e^{-y})= ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}e^x+ \frac{1}{2} e^{-x}) \cdot (\frac{1}{2}e^y+ \frac{1}{2} e^{-y}) + (\frac{1}{2}e^x- \frac{1}{2} e^{-x}) \cdot (\frac{1}{2}e^y- \frac{1}{2} e^{-y})=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}e^{x+y}+ \frac{1}{4}e^{x-y}+\frac{1}{4}e^{-x+y}+\frac{1}{4}e^{-x+-y} + \frac{1}{4}e^{x+y}- \frac{1}{4}e^{x-y}-\frac{1}{4}e^{-x+y}+\frac{1}{4}e^{-x+-y}=... \end{eqnarray*}$

übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{x+y}+ \frac{1}{2}e^{-x-y} =cosh(x+y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^{x+y}+ e^{-x-y})=cosh(x+y) \end{eqnarray*}$

ist das das selbe? oder ist das totaler humbug?

mfg
matheloser5

08.12.2006, 11:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheloser5
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{x+y}+ \frac{1}{2}e^{-x-y} =cosh(x+y) \end{eqnarray*}$

Stimmt soweit. Mit der Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{x+y}+ \frac{1}{2}e^{-x-y} = \frac{1}{2}e^{x+y} + \frac{1}{2}e^{-(x+y)} = cosh(x+y) \end{eqnarray*}$ wird es eine Idee klarer.

08.12.2006, 19:45

matheloser5

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herzlichen Dank für deine ausgezeichnete Hilfe!

mfg
matheloser

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