x^3 steng monoton? |
| 24.04.2011, 11:56 | Acacia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| x^3 steng monoton? Hallo zusammen, hab mal eine frage: also wir haben im Unterricht die Monotonie besprochen und gesagt: Streng monoton steigend: In dem Intervall ist die Steigung von jedem Punkt >0 Monoton steigend: In dem Intervall ist die Steigung von jedem Punkt >/= 0 also ist eine Funktion mit Sattelstellen nur monoton steigend, richtig? mein Lehrer hat gesagt, dass x^3 ebenfalls streng monoton steigend ist, aber da liegt bei x=0 doch ein Sattelpunkt?? Meine Ideen: ... |
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| 24.04.2011, 12:12 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: x^3 steng monoton?
Tja, diese Definition ist gefährlich, denn sie ist lückenhaft. Darüber bist du ja nun auch gestolpert, mit genau der richtigen Begründung. Sagt dir der Begriff einer "diskreten Teilmenge" etwas? Aber ob ja oder nein, lies trotzdem mal kurz in diesem Artikel den Absatz 4 (in der Erklärung ist I das Intervall [a,b]). Jedenfalls ist bei x³ die Steigung nur in einem einzelnen Punkt 0 (dieses Beispiel wird dort sowieso erwähnt). Und ein einzelner Punkt ist in jedem Fall eine diskrete Teilmenge von R. Das heißt, die Bedingung wird nicht verletzt. Ist ja auch irgendwie wohl anschaulich, oder? Theoretisch müsste es also zwei Punkte "direkt nebeneinander" geben, in denen die Steigung 0 ist. Aber in R ist das ja nicht so wirklich möglich, denn wenn du irgendwelche zwei reelle Zahlen nimmst, liegen dazwischen auch wieder unendlich viele andere reelle Zahlen. Aber jetzt wird's vielleicht etwas schwierig wegen der Veranschaulichung. 
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| 24.04.2011, 12:13 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: x^3 steng monoton?
Das gilt nur in einer Richtung, d.h., die angegeben Bedinung ist nur hinreichend, aber nicht notwendig für streng monoton steigend... Die Funktion ist ja gerade ein schönes Gegenbeispiel dafür, dass die Bedingung eben nicht notwendig ist... Umgekehrt ist die zweite abgeschwächte Bedingung notwendig, aber wieder nicht hinrreichend für streng monoton steigend... Kurz und gut: Dein Lehrer hat recht, sorry... 
Edit: Ok, zu spät... Aber vielleicht hält doppelt besser...
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| 24.04.2011, 12:29 | Acacia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke für eure schnellen antworten 
also ist eine funktion mit sattelpunkten doch streng monoton? weil ja wie du schon sagtest nur im sattelpunkt die steigung null ist und eben nicht verletzt wird... gibt es denn überhaupt funktionen, die erfüllen, obwohl sie monoton steigend sind? Lg |
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| 24.04.2011, 12:43 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Bedingung ist doch stets und für beliebige Funktionen erfüllt... Offenbar meinst du irgendeine andere Bedingung, weiß aber nicht welche... |
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| 24.04.2011, 13:05 | Acacia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh, da hab ich echt blödsinn geschrieben, ich meinte eigentlich, ob es monton steigende funktionen gibt,die nicht erfüllen. anscheinden erfüllt ja jede funktion mit egal wievielen sattelstellen diese bedingung, also sind funktionen mit sattelstellen streng monoton, welche funktionen sind denn "nur" monoton? |
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| 24.04.2011, 13:36 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir fiele da zum Beispiel die Gaußklammer ein. Wer ganz frech ist, nimmt auch einfach die konstanten Funktionen, die sind aber sogar monoton fallend und monoton steigend zugleich. zum Beispiel.
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| 24.04.2011, 13:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine einfache Formel für eine solche Funktion fällt mir jetzt grad nicht ein, falls es eine solche überhaupt gibt... Aber du kannst sie leicht stückweise definieren, z.B. , falls |x|>1, und 0 sonst @mulder Ich denke deine Beispiele funktionieren nicht, denn wie soll denn hier das Intervall gewählt werden? Sprungstellen, wo die Ableitung nicht existiert, darf es ja keine enthalten... |
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| 24.04.2011, 14:34 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Werden bei Monotonie nur stetige (bzw. auch da nur auf I diffbare) Funktionen betrachtet? Bei der Gaußklammer erhalte ich doch auf ganz R beispielsweise. Für mich wäre sie damit monoton, auch wenn die Ableitung nun nicht überall existiert und Acacias Definition aus dem Unterricht darauf nun nicht anwendbar ist. Bei den konstanten Funktionen indes sehe ich jetzt keine Probleme... der beidseitige Grenzwert existiert doch überall. 
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| 24.04.2011, 14:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: x^3 steng monoton? Ich hatte hier folgenden Teil des Eingangspostings vor Augen
und da muss ja in dem Intervall, welches man betrachtet, die Steigung auch tatsächlich existieren, damit sie positiv bzw. nichtnegativ sein kann... Wenn du aber für deine Funktion das Intervall so wählst, dass es keine Sprungstelle beinhaltet, dann hättest ja gleich eine konstante Funktion nehmen können... Kann aber durchaus sein, dass ich da irgendwas falsch verstanden habe... |
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| 24.04.2011, 15:02 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, ich hatte das jetzt wirklich nur in Bezug auf
geschrieben. Aber stimmt schon, war dann vielleicht ein blödes Beispiel. |
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| 25.04.2011, 16:30 | Acacia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so... also euren ganzen argumentationen konnte ich leider nicht folgen, das war mir etwas zu hoch 
aber nicht schlimm^^ also wenn jede funktion, mit oder ohne sattelstellen, streng monoton steigend ist, welche funktion ist dann "nur" monton steigend? eine gerade ohne steigung ist ja nicht steigend, erfüllt aber ln(x) ist auch streng monoton steigend,oder? lg |
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| 25.04.2011, 19:58 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, ich versuchs dann nochmals mit meiner obigen Funktion, aber vielleicht etwas verständlicher formuliert: f(x) sei Diese Funktion ist nur monoton, aber nicht streng monoton... Versuch sie am besten aufzuzeichnen, um das besser zu sehen... |
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| 25.04.2011, 20:12 | Acacia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, Mystic
habe die funtkion eingezeichnet und man sieht sehr gut, dass für -1<x<1 der funktionswert stets null ist, also eine "langgezogener Sattelstelle" :p ok, jetzt hab ich den unterschied endlich verstanden, nochmals danke, aber die funktionen in bis zur oberstufe, also 13.klasse, sind ja alle nur streng monoton auf einem intervall, oder? ich denke da an e^x, sin, x^2, 1/x oder? übrigens noch frohe ostern 
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| 25.04.2011, 20:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, wobei du speziell bei 1/x noch aufpassen musst, dass das gewählte Intervall komplett im Definitionsbereich liegt, d.h., die 0 nicht enthält...
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