Beweis Maximumsnorm

24.04.2011, 13:33

schweizerkäse

Beweis Maximumsnorm

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass durch

$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } := max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| , v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ,

eine Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Meine Ideen:
Mir ist klar, was ich tun muss, nämlich 3 Dinge nachweisen:

Zuerst folgendes:

$\begin{eqnarray*} ||v|| \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , ||v|| = 0 <=> v = 0

und dann noch 2. und 3.

Jedoch scheitere ich schon beim ersten, deswegen schreibe ich den Rest erstmal nicht auf.

Überall wo ich bisher nachgeschaut habe wird gesagt, die Eigenschaft ergibt sich leicht und wird daher nicht nachgewiesen. Mir ist allerdins nicht klar, was gemeint ist. Kann mir jemand helfen?

24.04.2011, 13:53

Math1986

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Erstmal die Aussage:

$\begin{eqnarray*} ||v|| \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist also, dass
$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } := max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| \geq 0 \end{eqnarray*}$ ,
Man sieht es wirklich sofort, wenn man sich mal die linke Seite anschaut

Dann zeigen wir die Aussage
$\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 \Leftrightarrow v = 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen sind also beide Richtungen:
$\begin{eqnarray*} v = 0 \Rightarrow ||v|| = 0 \end{eqnarray*}$
Das folgt direkt durch Einsetzen und Ausrechnen
$\begin{eqnarray*} ||v|| = 0 \Rightarrow v = 0 \end{eqnarray*}$
Dazu musst du die Norm mit 0 gleichsetzen und zeigen, dass dies nur für den Nullvektor gilt

24.04.2011, 14:25

schweizerkäse

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du meinst also ich kann einfach schreiben:

$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } := max_{1\leq i\leq n}|v_{i} | \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist erfüllt.

Aus $\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ v = 0

und aus $\begin{eqnarray*} v = 0 \Rightarrow ||v||_{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$

und daher ist die positiv definitheit erfüllt

so ?

24.04.2011, 14:50

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
du meinst also ich kann einfach schreiben:

$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } := max_{1\leq i\leq n}|v_{i} | \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist erfüllt.

Aus $\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ v = 0

und aus $\begin{eqnarray*} v = 0 \Rightarrow ||v||_{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$

und daher ist die positiv definitheit erfüllt

Dass diese Aussagen gelten, musst du dabei auch begründen können, aber der Weg ist richtig

24.04.2011, 15:12

schweizerkäse

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aber das ist das problem, ich verstehe nicht, wie ich das begründen soll, weil es ja anscheined so offentsichtlich ist ..

24.04.2011, 15:47

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
aber das ist das problem, ich verstehe nicht, wie ich das begründen soll, weil es ja anscheined so offentsichtlich ist ..

Naja, du bildest das Maximum über Beträge, weshalb ist das wohl $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2011, 10:47

schweizerkäse

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ja ok jetzt Big Laugh

der betrag kann natürlich nicht kleiner als 0 sein und er ist nur dann gleich 0 wenn v 0 ist, dann schreib ich das einfach so ähnlich in worten hin

dann muss ich als nächstes die homogenität zeigen, also dass

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v|| = |\lambda |\cdot ||v|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

also in meinem fall dann, dass

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n} |\lambda v_{i}|<br /> <br /> = |\lambda |\cdot ||v||_{\infty } = \lambda \cdot max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

aber hier weiß ich auch wieder nicht wie ich das zeigen kann

25.04.2011, 13:07

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
ja ok jetzt Big Laugh

der betrag kann natürlich nicht kleiner als 0 sein und er ist nur dann gleich 0 wenn v 0 ist, dann schreib ich das einfach so ähnlich in worten hin

Ja, das ist der richtige Ansatz, das musst du nun nur noch formal ausführen

Zitat:

Original von schweizerkäse
dann muss ich als nächstes die homogenität zeigen, also dass

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v|| = |\lambda |\cdot ||v|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

also in meinem fall dann, dass

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n} |\lambda v_{i}|<br /> <br /> = |\lambda |\cdot ||v||_{\infty } = \lambda \cdot max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

aber hier weiß ich auch wieder nicht wie ich das zeigen kann

In letzterer Gleichung fehlen die Betragsstriche um $\begin{eqnarray*} |\lambda | \end{eqnarray*}$
Dir ist aber schon klar, wie man mit Betragsstrichen rechnet, oder?
Insdbesondere gilt $\begin{eqnarray*} |\lambda |\cdot |v_i| = |\lambda \cdot v_i| \end{eqnarray*}$

25.04.2011, 13:53

schweizerkäse

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dann habe ich es immer noch nicht verstanden
ich weiß nicht wie ich das alles richtig formal aufschreiben soll

nochmal zurück zum ersten teil

also wie kann ich denn formal richtig aufschreiben, dass

$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } := max_{1\leq i\leq n}|v_{i} | \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, weil die Beträge der $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ immer größer oder gleich 0 sein müssen (das ist doch die definition vom betrag) und somit also auch das maximum dieser beträge der $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$

und dass

$\begin{eqnarray*} ||v||_{\infty } = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ v = 0

und $\begin{eqnarray*} v = 0 \Rightarrow ||v||_{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ ,

weil das Maximum der beträge der $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ nur dann 0 sein kann, wenn alle $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ auch 0 sind

25.04.2011, 13:57

Math1986

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So, wei dus jetzt geschrieben hast, stimmt es, du hast zuerst aber das Maximun außen vorgelassen

25.04.2011, 14:24

schweizerkäse

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gut

also dann jetzt aber teil 2

dann muss ich jetzt also die homogenität zeigen:

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v|| = |\lambda |\cdot ||v|| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

also in meinem fall dann, dass

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v||_{\infty } = |\lambda |\cdot ||v||_{\infty } \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb K, v\in V \end{eqnarray*}$

kann ich das dann einfach so begründen:

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n} |\lambda v_{i}| = max_{1\leq i\leq n} |\lambda| |v_{i}| = |\lambda| max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| = = |\lambda |\cdot ||v||_{\infty } \end{eqnarray*}$

25.04.2011, 14:33

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
kann ich das dann einfach so begründen:

$\begin{eqnarray*} ||\lambda v||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n} |\lambda v_{i}| = max_{1\leq i\leq n} |\lambda| |v_{i}| = |\lambda| max_{1\leq i\leq n} |v_{i}| = = |\lambda |\cdot ||v||_{\infty } \end{eqnarray*}$

Ja, richtig

25.04.2011, 16:21

schweizerkäse

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dann fehlt mir ja jetzt nur noch der letzte teil:

$\begin{eqnarray*} ||v+w||_{\infty } \leq ||v||_{\infty } + ||w||_{\infty } \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} ||v+w||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n}||v+w| \leq max_{1\leq i\leq n}||v|| +max_{1\leq i\leq n}||w|| = ||v||_{\infty } + ||w||_{\infty } \end{eqnarray*}$

so?

25.04.2011, 17:19

Math1986

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Zitat:

Original von schweizerkäse
dann fehlt mir ja jetzt nur noch der letzte teil:

$\begin{eqnarray*} ||v+w||_{\infty } \leq ||v||_{\infty } + ||w||_{\infty } \end{eqnarray*}$

weil:

$\begin{eqnarray*} ||v+w||_{\infty } = max_{1\leq i\leq n}||v+w| \leq max_{1\leq i\leq n}||v|| +max_{1\leq i\leq n}||w|| = ||v||_{\infty } + ||w||_{\infty } \end{eqnarray*}$

so?

Ja, richtig

25.04.2011, 17:33

schweizerkäse

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vielen dank smile

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