Am Rand erkennen, ob ein Punkt enthalten ist

24.04.2011, 16:15	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Rand erkennen, ob ein Punkt enthalten ist Meine Frage: Hallo, noch eine Aufgabe zum Gaußschen Integralsatz, weils so schön ist! Sei $\begin{eqnarray} A\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ein Kompaktum mit glattem Rand und äußerem Einheits-Normalenfeld $\begin{eqnarray} v:\partial A\to \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Betrachte einen Punkt $\begin{eqnarray} a\notin \partial A \end{eqnarray}$ . Man zeige: $\begin{eqnarray} \int_{\partial A} <\frac{x-a}{\|\|x-a\|\|^n},v(x)> dS(x)=0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a\notin A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\partial A} <\frac{x-a}{\|\|x-a\|\|^n},v(x)> dS(x)=\omega_n \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n \end{eqnarray}$ ist hier das (n-1)-dimensionale Volumen der (n-1)-dimensionalen Einheitssphäre. Meine Ideen: Erstmal wollte ich jetzt für $\begin{eqnarray} V(x):=\frac{x-a}{\|\|x-a\|\|^n} \end{eqnarray}$ ausrechnen, was $\begin{eqnarray} div V(x) \end{eqnarray}$ ist. Wie macht man das hier? Also ich weiß, dass $\begin{eqnarray} div V=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V_i}{\partial x_i} \end{eqnarray}$ . Aber irgendwie hilft mir das hier grad nicht! Wie sieht denn überhaupt erstmal die Funktionalmatrix von V(x) aus? (Ich weiß nicht, nach was ich hier ableiten muss und wie das mit der Norm geht.)
24.04.2011, 18:12	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} V_1(x) = \frac{x_1 - a_1}{\Vert x - a \Vert^n} = x_1 - a_1 \cdot \frac{1}{\Vert x - a \Vert^n} = (x_1 - a_1) \cdot \Vert x - a \Vert^{-n}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Longrightarrow \partial_{e_1} V_1(x) = \partial_{e_1} [(x_1 - a_1) \cdot \Vert x - a \Vert^{-n}] = \partial_{e_1}(x_1 - a_1) \cdot \Vert x - a \Vert^{-n} + (x_1 - a_1) \cdot \partial_{e_1}\Vert x - a \Vert^{-n}= .... \end{eqnarray}$ Die Norm leitet man mit Kettenregel ab wobei man aufpassen muss, denn in 0 ist sie nicht differenzierbar.
24.04.2011, 19:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke bis hierhin! Ich frage mich, wie man nun $\begin{eqnarray} \|\|x-a\|\|^{-n} \end{eqnarray}$ nach x ableitet. Du sagst per Kettenregel: $\begin{eqnarray} u(v(x))=u(\|\|x-a\|\|))=\|\|x-a\|\|^{-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(v):=v^{-n}\Rightarrow u'(v)=-n\cdot v^{-n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v(x):=\underbrace{\|\|x-a\|\|}_{=\sqrt{(x-a)^2}}\Rightarrow v'(x)=sign(x-a) \end{eqnarray}$ Insgesamt: $\begin{eqnarray} -n\cdot v^{-n-1}\cdot sign(x-a)=-n\cdot \Vert x-a\Vert^{-n-1}\cdot sign(x-a) \end{eqnarray}$ Stimmt das?
24.04.2011, 19:49	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast da doch die euklidische Norm stehen oder? Dann ist doch $\begin{eqnarray} \Vert x -a \Vert^{-n} = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2}^{-n}= [(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2]^{\frac{-n}{2}} \end{eqnarray}$ Was ist denn die Ableitung von $\begin{eqnarray} (x_1 - a_1)^2 \end{eqnarray}$ in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{e_1} \end{eqnarray}$ ? Und was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} y^{-n/2} \end{eqnarray}$ ?? (Salopp aufgeschrieben, formal nicht korrekt!)
24.04.2011, 19:59	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe gerade auf dem Schlauch: Was soll jetzt das y sein? Das was ganz rechts steht_ Das in den eckigen Klammern ist die innere Funktion, die man nun für alle Summanden ableitet - und das y soll die äußere Funktion sein?
24.04.2011, 20:10	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \partial_{e_1} \Vert x -a \Vert^{-n} = \partial_{e_1} \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2}^{-n}= \partial_{e_1} [(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2]^{\frac{-n}{2}}\\<br /> = 2(x_1 - a_1) \frac{-n}{2}[(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2]^{\frac{-n}{2}-1} \\<br /> = 2(x_1 - a_1)\frac{-n}{2} [(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2]^{\frac{-n-2}{2}}\\<br /> = 2(x_1 - a_1)\frac{-n}{2} \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + ... + (x_n - a_n)^2}^{-(n+2)}\\<br /> = \frac{-n(x_1 - a_1)}{\Vert x-a \Vert^{n+2}} \end{eqnarray}$ insofern es sich tatsächlich um die euklidische Norm handelt.
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25.04.2011, 00:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe schon davon aus, dass hier die euklidische Norm gemeint ist. Jedenfalls gibt es keine besonderen Angaben dazu. Das bedeutet, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray} V_1(x) \end{eqnarray}$ also insgesamt $\begin{eqnarray} 1\cdot \Vert x-a\Vert ^{-n}+ (x_1-a_1)\cdot \frac{-n(x_1-a_1)}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}=\Vert x-a\Vert ^{-n}-\frac{n}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}=\frac{1}{\Vert x-a\Vert ^n}-\frac{n}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}=\frac{\Vert x-a\Vert ^2-n}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}} \end{eqnarray}$ ist. Ebenso müssten dann auch die Ableitungen von $\begin{eqnarray} V_2(x),... \end{eqnarray}$ aussehen. Was folgt dann am Ende für $\begin{eqnarray} div V(x) \end{eqnarray}$ ? Ist $\begin{eqnarray} div V(x)=n\cdot (\frac{\Vert x-a\Vert ^2-n}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}) \end{eqnarray}$ ? Ich sehe noch nicht, falls das stimmt, wie die Aufgabe dann weitergehen kann... [Ich habe nur ein Beispiel gesehen, wo $\begin{eqnarray} V(x)=\frac{x}{\Vert x\Vert ^n} \end{eqnarray}$ war und da kam so schön $\begin{eqnarray} div V(x)=0 \forall x \end{eqnarray}$ heraus, womit man dann gut weiterargumentieren konnte; hier scheint komplizierter zu sein.]
25.04.2011, 13:02	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Man sollte so spät keine Mathematik mehr machen: Ich habe mich natürlich ganz blöd verrechnet und etwas gekürzt, das nicht gekürzt werden darf: In richtig kommt natürlich Folgendes heraus: $\begin{eqnarray} div V=\overbrace{\frac{\Vert x-a\Vert ^2-n\cdot (x_1-a_1)^2}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}}^{=\partial_{e_1} V_1(x)}+\hdots +\frac{\Vert x-a\Vert ^2-n\cdot (x_n-a_n)^2}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{n\cdot (\Vert x-a\Vert ^2)-n\cdot (x_1-a_1)^2-n\cdot (x_2-a_2)^2-\hdots -n\cdot (x_n-a_n)^2}{\Vert x-a\Vert ^{n+2}}=0 \end{eqnarray}$ Okay, dann mal zurück zu der Aufgabe: Wenn nun $\begin{eqnarray} a\notin A \end{eqnarray}$ , so folgt damit direkt aus dem Gaußschen Integralsatz, dass 0 herauskommt. Das wäre also bewiesen. Bleibt der Fall, dass $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Dann kann man nicht so einfach den Gaußschen Integralsatz anwenden, denn für a kann man ja nicht einfach so über M integrieren, weils dann nicht definiert ist. Wie macht man weiter an dieser Stelle? [Kann man den Punkt a irgendwie "herausschneiden" bzw. eine winzige Umgebung um a?] Nochmal ausführlicher: 1. Fall: Sei $\begin{eqnarray} a\notin A \end{eqnarray}$ . Dann folgt nach obiger Rechnung mit dem Gaußschen Integralsatz sofort, dass das Ergebnis 0 ist, was man zeigen muss. 2. Fall: Sei $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Da V nicht auf ganz A definiert ist, nämlich nicht für den Punkt a, kann hier nicht der Gaußsche Integralsatz angewandt werden. Die Idee besteht darin, den Punkt a auszuschneiden. Das heißt, statt A betrachtet man $\begin{eqnarray} A_r=A\backslash K_r(a) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ so klein gewählt wird, dass $\begin{eqnarray} K_r(a)\subset A \end{eqnarray}$ . Auf $\begin{eqnarray} A_r \end{eqnarray}$ ist V definiert und hat Divergenz Null. Der Satz von Gauß ergibt $\begin{eqnarray} \int_{\partial A_r} <V.v> dS=0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} \partial A=\partial A_r\cup \partial K_r(a) \end{eqnarray}$ (disjunkt). Nun ist die äußere Einheits-Normale bei $\begin{eqnarray} x\in \partial K_r(a) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} -\frac{x-a}{\Vert x-a\Vert} \end{eqnarray}$ , da sie aus $\begin{eqnarray} A_r \end{eqnarray}$ herauszeigt. Für $\begin{eqnarray} x\in \partial K_r(a) \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} <V(x),v(x)>=-\Vert x-a\Vert ^{-(n-1)}=-r^{-(n-1)} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 0=\int_{\partial A_r} <V,v> dS=\int_{\partial A} <V,v> dS + \int_{\partial K_r(a)} <V,v> dS \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{\partial A} <V,v> dS-\frac{1}{r^{n-1}}\cdot vol_{n-1}(\partial K_r(a)) \end{eqnarray}$ Und daraus folgt wegen $\begin{eqnarray} vol_{n-1}(\partial K_r(a))=r^{n-1}\cdot \omega_n \end{eqnarray}$ die Behauptung. So, das wärs von meiner Seite erstmal. Nun hoffe ich auf Reaktionen, Verbesserungen, Kommentare etc..

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