Fibonacci-Zahlen Ansatz

24.04.2011, 17:19	portfreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Fibonacci-Zahlen Ansatz Hallo! Während ich auf eine Antwort zum Thema Archimedisches Axiom? warte, wollte ich mich mit einer anderen Aufgabe beschäftigen. Die Aufgabe lautet: Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (oder n=0) sei $\begin{eqnarray} f_{n} = \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} f_{0} \end{eqnarray}$ = 0, $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ = 1 und $\begin{eqnarray} f_{n-1} + f_{n-2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq \end{eqnarray}$ 2 Soll ich die o.g. Funktion beweisen? Wenn ja aber wie??? Brauche einen mathematischen Ansatz und wäre über so eines sehr dankbar! LG!
24.04.2011, 17:28	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich würde sagen, da bietet sich eine Induktion an. Cordovan
24.04.2011, 17:47	portfreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das habe ich mir auch gedacht, aber ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Was z.B. mein Induktionsanfang ist? LG
24.04.2011, 17:51	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne doch mal $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ für n=1,2,3,4 und überprüfe an denen die Behauptung. Cordovan
24.04.2011, 18:17	portfreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Nur gibt es schon probleme, die Behauptung stimmt nicht, denn: $\begin{eqnarray} f_{1} = \sum\limits_{k=1}^n=1 \begin{pmatrix} 1-1 \\ 1-1 \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \Rightarrow 0<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1 = 0 \neq f_1 = 1 \end{eqnarray}$ und für die folgenden n stimmt es auch nicht. Der Induktionsschritt (falls der noch von nöten ist) wäre ja dann: $\begin{eqnarray} (n+1)-k > n-k \Rightarrow n+1 > n \Rightarrow 1 > 0 \end{eqnarray}$ Was habe ich jetzt ermittelt? Habe ich mittels der Induktion nun die Aussage bewiesen oder widerlegt. Mach ich da was falsch? LG!
24.04.2011, 23:08	portfreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Freund und ich haben an der Aufgabe rumgetüfftelt und sind zu diesem Ergebniss gekommen. Falls Fehler vorhanden sind bitte korrigieren ! Achtung viel Text Ansatz: Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} f_0 = \sum\limits_{k=1}^{n=0} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_1 = \sum\limits_{k=1}^{n=1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_2 = \sum\limits_{k=1}^{n=2} \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-1 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2-2 \\ 2-1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = 1 + 0 = 1 = f_1+f_0 \end{eqnarray}$ Induktionsannahme: $\begin{eqnarray} f_n=f_{n-1}+f_{n-2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} f_{n+1}=f_{(n+1)-1}+f_{(n+1)-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} (n+1)-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} (n-1)-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Folgende Nebenrechnung unter Anwendung von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1-k \\ k-1 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-(n+1) \\ (n+1)-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n-(n+1) \\ (n+1)-1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ ==== Ende =============== Dann hat man $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n} \begin{pmatrix} n-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} + \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} (n-1)-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} (n-1)-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nebenrechnung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} (n-1)-k \\ k-1 \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} (n-1)-(k-1) \\ (k-1)-1 \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=1}^{n+1} \begin{pmatrix} n-k \\ k-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ es gilt also $\begin{eqnarray} f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} \end{eqnarray}$ Bewiesen? JA oder??
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25.04.2011, 20:49	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Sorry, war lange nicht da. Zu deiner Rechnung: sieht alles gut aus - beim Anfang allerdings hast du für $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ einfach nur die leere Summe dastehen, die per Definition 0 ergibt. Ansonsten: Cordovan
25.04.2011, 23:43	portfreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Ding! Es gibt auch was anderes als Mathematik im Leben ! Danke dir trotzdem!

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