Beweis - Dreiecksungleichung nach unten gilt im metrischen Raum

24.04.2011, 18:29

BeweisNewbie

Beweis - Dreiecksungleichung nach unten gilt im metrischen Raum

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgendes Beweisen:

Es sei $\begin{eqnarray*} (M, d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum.
Beweisen Sie, dass dann die ?Dreiecksungleichung nach unten? gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in M : d(x, y) \geq |d(x, z) - d(z, y)| \end{eqnarray*}$

Ich wollt einfach mal fragen, ob ich auf dem richtigen Weg bin. Hab mit Beweisen noch nicht so viel Erfahrung, deswegen entschuldige ich mich schon mal im vorraus.

Meine Ideen:
Zuerst hab ich mir mal den Beweis für $\begin{eqnarray*} x + y\geq | x - y | \end{eqnarray*}$ angeschaut:

$\begin{eqnarray*} \newline x + y\geq | x - y | =\newline x² + 2xy + y² \geq x² -2|xy| + y² =\newline 2xy \geq -2|xy|\newline Fall\ 1:\ xy \geq 0 2xy \geq -2xy ,\ ist\ offensichlich\ wahr,\ wegen\ dem\ -2. Fall\ 2:\ xy < 0 \\ 2xy \geq -2\cdot -(xy),\ ist\ offensichtlich\ wahr,\ insbesondere\ gilt\ dann\ 2xy = -2\cdot -(xy) = 2xy \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal das stimmt.

Habs jetzt beim metrischen Raum versucht und komm jetzt nicht mehr weiter unglücklich

$\begin{eqnarray*} d(x, y) \geq |d(x, z) - d(z, y)| =\\ |x - y| \geq | |x - z| - |z-y| | =\\ x² - 2|xy| + y² \geq | |x - z| - |z - y| |²=\\ x² - 2|xy| + y² \geq | |x - z|² - 2|x - z|*|z - y| + |z - y|² | =\\ x² - 2|xy| + y² \geq |x²-2|xz| + z² -2|(x-z)*(z-y)| + z² -2|zy| + y²| =\\ x² - 2|xy| + y² \geq |x²-2|xz| + z² -2|xz-xy-z²+zy| + z² -2|zy| + y²| =\\ -2|xy|\geq -4|xz|+2|xy|-4zy+4z² =...\\ \end{eqnarray*}$

25.04.2011, 10:45

Abakus

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RE: Beweis - Dreiecksungleichung nach unten gilt im metrischen Raum
Hallo,

was bekommst du, wenn du die Dreiecksungleichung für die Metrik geeignet umstellst?

Grüße Abakus smile

25.04.2011, 12:10

BeweisNewbie

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Ich verstehe nicht ganz was du meinst. Hab ich beim Umformen einen Fehler gemacht?

25.04.2011, 13:47

Abakus

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Zitat:

Original von BeweisNewbie
Hab ich beim Umformen einen Fehler gemacht?

Deine Umformungen habe ich gar nicht angeschaut, das sieht auch recht kompliziert aus. Das Problem ist jedenfalls, dass du

$\begin{eqnarray*} d(x, y) = |x - y| \end{eqnarray*}$

voraussetzt, was aber nicht so gegeben ist. Eine Metrik kann auch völlig anders definiert sein (denke mal an die diskrete Metrik oder was auch immer).

Demnach der Tipp: schaue dir die Dreiecksungleichung für die Metrik genau an und schaue, was du da rauskriegst.

Grüße Abakus smile

25.04.2011, 21:54

BeweisNewbie

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Hey Abakus,

natürlich hast du Recht, die Metrik ist hier garnicht definiert. geschockt

Jedoch verstehe ich grad nicht, wie ich das ausrechnen soll. Ich hab schon versucht die Dreiecksungleichung zu quadrieren, aber ich krieg da nichts hilfreiches raus. Kannst du mich vielleicht etwas konkreter in die richtige Richtung schubsen? traurig

26.04.2011, 15:23

BeweisNewbie

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Hey, also ich hab da grad was versucht, ich weiß jedoch nicht obs stimmt:

$\begin{eqnarray*} Fall\ 1:\ |d(x,z) - d(z,y)|\geq 0\\ wegen\ allgemeiner\ Eigenschaft\ d(x, y) \geq 0\\ =||d(x,z)| - |d(z,y)|| = |d(x,z)|- |d(z,y)|\\ =|(d(x,z)-d(z,y))+d(z,y)| - |d(z,y)|\\ Mit\ der\ Dreiecksungleichung\ gilt\ dann\ :\\ \leq |d(x,z)-d(z,y)| + |d(z,y)|-|d(z,y)|\\ =|d(x,z)-d(z,y)| \leq |d(x,z)-d(z,y)|\\ Was\ offensichtlich\ wahr\ ist.\\ Fall\ 2:\ |d(x,z)-d(z,y)| < 0\\ =||d(x,z)| - |d(z,y)|| = |d(z,y)|-|d(x,z)|\\ =|(d(z,y)-d(x,z)) + d(x,z)|-|d(x,z)|\\ Mit\ der\ Dreiecksungleichung\ gilt\ dann:\\ |d(z,y)| - |d(x,z)| \leq |d(z,y) - d(x,z)|\\ \end{eqnarray*}$

Da der rechte Teil negativ werden kann und der linke nicht, ist die Ungleichung wahr.

Ist das so richtig?

28.04.2011, 00:53

Abakus

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Zitat:

Original von BeweisNewbie
Hey, also ich hab da grad was versucht, ich weiß jedoch nicht obs stimmt:

$\begin{eqnarray*} Fall\ 1:\ |d(x,z) - d(z,y)|\geq 0\\ \end{eqnarray*}$

Solange da Betragsstriche stehen, ist das immer größer Null. Was ist hier die Bedingung?

Du meinst bestimmt:

Fall 1:

$\begin{eqnarray*} d(x, z) - d(z, y) > 0 \end{eqnarray*}$

Hier folgt die Behauptung durch Umstellen der Metrik-Dreiecksungleichung.

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} d(x, z) - d(z, y) < 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} d(z, y) \leq d(z, x) + d(x, y) \end{eqnarray*}$

Also umgestellt auch:

$\begin{eqnarray*} d(x, y) \geq d(z, y) - d(z, x) = | d(z, x) - d(z, y)| \end{eqnarray*}$

3. Fall:

Die Differenz ist Null: nicht zu vergessen hier!

Grüße Abakus smile

28.04.2011, 10:54

BeweisNewbie

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Zitat:

Original von Abakus

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} d(x, z) - d(z, y) < 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} d(z, y) \leq d(z, x) + d(x, y) \end{eqnarray*}$

Also umgestellt auch:

$\begin{eqnarray*} d(x, y) \geq d(z, y) - d(z, x) = | d(z, x) - d(z, y)| \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} d(x, z) - d(z, y) < 0 \end{eqnarray*}$ wird müsste ja $\begin{eqnarray*} d(x, z) < d(z, y) \end{eqnarray*}$ sein, also:

$\begin{eqnarray*} d(x,z)\leq d(z,y) + d(x,y)\\ -d(x,y)\leq -d(x,z)+d(z,y)\ |\cdot (-1)\\ d(x,y)\geq d(x,z)-d(z,y)=|d(x,z)-d(z,y)|\\ \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da was nicht verstanden?

LG

BeweisNewbie

28.04.2011, 11:30

BeweisNewbie

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Restlichen Fälle:

$\begin{eqnarray*} Fall\ 1:\ d(x,z)-d(z,y) > 0 \end{eqnarray*}$
also muss $\begin{eqnarray*} d(x,z) > d(z,y) \end{eqnarray*}$ sein.

$\begin{eqnarray*} d(z,y) \leq d(x,z) + d(x,y)\\ -d(x,y) \leq -d(z,y) + d(x,z)\ | \cdot (-1)\\ d(x,y) \geq d(z,y) -d(x,z) = |d(x,z) - d(z,y)|\\ Fall\ 3:\ d(x,z)-d(z,y) = 0\\ also\ sind\ d(x,z) = d(z,y)\\ \end{eqnarray*}$
dann gilt offensichtlich
$\begin{eqnarray*} d(x,y) \geq |d(x,z)-d(z,y) \end{eqnarray*}$

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