Untergruppe einer zyklischen Gruppe

24.04.2011, 19:41

dreikommadrei

Untergruppe einer zyklischen Gruppe

(G,*) sei eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und k ein Teiler von m. Zeigen Sie es gibt eine Untergruppe der Ordnung k von (G,*)

Überlegung:

- (G,*) ist eine endliche Zyklische Gruppe, d.h. es gibt ein Element, dass mit sich selbst Verknüpft alle m Elemente der Gruppe erschaffen kann.

-> G={a, a*a, a*a*a, ... , a*a... m-mal (a^m) }

x^y haben wir noch nicht definiert deswegen immer dieses y-mal

Nun soll ich zeigen, dass es eine Untergruppe der Ordnung k gibt, dass heißt eine Gruppe mit k Elementen...
Diese könnte ja so aussehen
G={a, a*a, ... , a*a*...*a k-mal (a^k)}
ABER wenn a in dieser Gruppe wäre, wäre ja auch a^k*a in der Gruppe...
und sie hätte mehr als k Elemente?
Zumal die Verknüpfung ja aus der Obergruppe vererbt werden (oder nicht?)

Und könnte nicht a^(k+1) das NE von (G,*) sein?
Woher weiß ich denn, dass es dies nicht ist?

Bräuchte also gerade ein wenig Hilfe oO

24.04.2011, 19:57

Merlinius

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Also, wenn G eine zyklische Gruppe ist, und a ein Erzeuger, d.h. $\begin{eqnarray*} G = <a> \end{eqnarray*}$ , und m die Ordnung der Gruppe, k ein Teiler von m. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} a^m = 1 \Leftrightarrow a^{nk} = 1 \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Also:

$\begin{eqnarray*} a^{nk} = (a^n)^{k} = 1 \end{eqnarray*}$

Versuche daraus zu ersehen, wie man die Untergruppe der Ordnung k gewinnt, und warum man hier sicher sein kann, dass $\begin{eqnarray*} ...^{k+1} \end{eqnarray*}$ kein "neues" Element der Untergruppe darstellt, sondern bereits in $\begin{eqnarray*} ...^1, \_\_ , ...^k \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

24.04.2011, 20:04

dreikommadrei

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Auf die Gefahr hin, eine ganz dumme Frage zu stellen...
aber:

Zitat:

Original von Merlinius
Also, wenn G eine zyklische Gruppe ist, und a ein Erzeuger, d.h. $\begin{eqnarray*} G = <a> \end{eqnarray*}$ , und m die Ordnung der Gruppe, k ein Teiler von m. Dann gilt:

[latex]a^m = 1[/l]

warum?

24.04.2011, 20:30

Merlinius

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Wenn die zyklische Gruppe m Elemente hat und a ein Erzeuger ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} G = <a> = \{a^z | z \in \mathbb Z\} = \{a^0, a^1, ..., a^{m-1}\} \end{eqnarray*}$ , denn:

Da die Ordnung jedes Elements einer endlichen Gruppe die Gruppenordnung teilt, ist schonmal $\begin{eqnarray*} a^m = 1 \end{eqnarray*}$ .

Das dritte Gleichheitszeichen von oben gilt, da $\begin{eqnarray*} a^{-1} = a^{m-1} \end{eqnarray*}$ gilt, also kann man sich die negativen Exponenten beim Erzeugnis der Gruppe sparen. Da G m Elemente hat, sind die Elemente oben auch alle verschieden.

24.04.2011, 23:06

dreikommadrei

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Demnach ist auch
a^k=1

und a^-1 = a^(k-1)

richtig?

Aber so richtig steige ich da nicht ganz durch... auch weil wir nie über diesen "Satz von Lagrange" besprochen haben aus dem dieses a^m=1 folgt...

25.04.2011, 00:50

Merlinius

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Also wenn Du das selbe a wie oben meinst, also den Erzeuger von G, dann stimmt das nicht. Dann ist $\begin{eqnarray*} a^k \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie man oben sieht, ist $\begin{eqnarray*} (a^n)^k \end{eqnarray*}$ = 1. Also untersuche die von $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ erzeugte Untergruppe.

25.04.2011, 09:59

dreikommadrei

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Ich habe leider überhaupt keine Ahnung, was du damit meinst.
In der Vorlesung haben wir nur gelernt, dass eine Untergruppe aus einer Teilmenge (muss keine echte) der Gruppe besteht, das NE der Gruppe auch in der Untergruppe sein muss und dass die Rechenregeln nach unten vererbt werden.

Zur Mächtigkeit haben wir nur gelernt, dass das die Menge der Elemente in einer endlichen Gruppe ist.

Zur Zyklischen Gruppe nur, dass es ein erzeugendes Element gibt.

Das einzige was mir dieses a^k zeigt ist doch, dass in dieser Untergruppe auch wieder das erzeugende Element ist. Aber dies kann man dann doch immer wieder mit sich selbst verknüpfen. Und die Untergruppe müsste demnach genau so viele Elemente Haben wie die Gruppe...

Bei Gruppen mit der Mächtigkeit einer Primzahlen ist ja alles OK. k=m

aber wenn m nicht teilerfremd ist...
Hab hier tausend fragezeichen und unser skript spuckt auch kaum was aus

25.04.2011, 14:34

Merlinius

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Wenn Du $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ (n ist hier jenes n mit dem gilt: nk = m, siehe oben) mit sich selbst multiplizierst, wirst Du niemals $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ erhalten. Deshalb ist $\begin{eqnarray*} <a^n> \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine echte Untegruppe mit k Elementen. Ich gebe Dir ein Beispiel:

Betrachte die additive Gruppe $\begin{eqnarray*} G = (\mathbb Z/6\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ . Dies ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} m = 6 \end{eqnarray*}$ , ein Erzeuger ist $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt hat m insbesondere einen Teiler $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ . Mit der Bezeichnung von oben hat man also:

$\begin{eqnarray*} m = kn \Leftrightarrow 6 = 3\cdot 2 \end{eqnarray*}$

Die Behauptung ist nun, dass G eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ hat.

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} a+a+a+a+a+a = m\cdot a= 6\cdot a = 6 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist. (Bei einer additiven Gruppe schreibt man das neutrale Element meist als 0, oben war es immer 1, weil ich die Gruppe multiplikativ geschrieben hatte.)

Also:

$\begin{eqnarray*} m\cdot a = (k\cdot n)\cdot a = k\cdot (na) \end{eqnarray*}$ - formal geschrieben mit den Variablen, die ich oben benutzt habe. Meine Behauptung ist nun, dass $\begin{eqnarray*} <na> \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der Ordnung k ist. Beachte wieder: Oben habe ich $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ geschrieben, weil die Gruppe multiplikativ war, a sollte n-mal mit sich selbst multipliziert werden. Hier schreibe ich $\begin{eqnarray*} na \end{eqnarray*}$ , da ich nun a n-mal zu sich selbst addieren will.

Nun einmal mit Zahlen:

$\begin{eqnarray*} m\cdot a = 6 \cdot 1 = (3\cdot 2)\cdot 1 = 3 \cdot (2\cdot 1) = 3 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

Und tatsächlich erzeugt $\begin{eqnarray*} na = 2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ , nämlich die Gruppe:

$\begin{eqnarray*} <na> = <2> = \{0, 2, 4\} \end{eqnarray*}$

Und dies klappt für jeden Teiler k der Gruppenordnung einer zyklischen Gruppe. Betrachte auch, dass jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung m isomorph ist zur Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z/m\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ . Wenn Dir dieser Zusammenhang noch nicht bekannt ist, ist das nicht tragisch. Jedenfalls sieht man dadurch, dass man jede beliebige zyklische Gruppe genau wie oben angehen kann, um die Untergruppe mit Ordnung k zu gewinnen.

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