Körper - Seite 2

25.04.2011, 02:08

Pascal95

Entschuldige, ich hab noch eine Frage um meine Gedanken im Bett gleich zu ordnen:
Muss das neutrale Element denn Element von der Menge sein??
Ansonsten wäre ja $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne Null gar kein Monoid!

25.04.2011, 02:13

tigerbine

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Du willst nun zu später Stunde mit mir noch streiten, ob 0 eine natürliche Zahl ist? Big Laugh

Bei mir ist sie das nicht, und ja, N ist dann kein Monoid.

25.04.2011, 02:15

Pascal95

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Nein, die Diskussion will ich nicht führen.
Ich wurde auch so erzogen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb N = \{ 1,2,3,...\} \end{eqnarray*}$ ist.

Ich wollte nur feststellen, ob das neutrale Element denn dazugehören muss - und das muss es!

Dann bis Morgen. Wink

(dabei bleibt es doch hoffentlich, nicht das ich in 3 min wieder ein Problem habe Big Laugh

)

25.04.2011, 02:17

tigerbine

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(N,+) ist eine Halbgruppe, aber keine Monoid. Denn der verlangt ein neutrales Element.

25.04.2011, 03:04

Pascal95

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und wieder zurück...
So,
ich hab das mal zusammengefasst.
Könntest du das vielleicht mal ansehen, ob es soweit richtig ist.

Ich geh jetzt schlafen Wink

[attach]19233[/attach]

25.04.2011, 03:07

tigerbine

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RE: und wieder zurück...
In der Gruppe muss jedes Element invertierbar sein. Die Zeile mit i ist unklar. Ferner "Existenz inverser Elemente" schreiben.

Im Körper muss bei "*" die 0 raus.

25.04.2011, 15:21

Pascal95

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RE: und wieder zurück...

Zitat:

Original von tigerbine
In der Gruppe muss jedes Element invertierbar sein. Die Zeile mit i ist unklar. Ferner "Existenz inverser Elemente" schreiben.

Ok, das hab ich jetzt leicht geändert.

Zitat:

Original von tigerbine
Im Körper muss bei "*" die 0 raus.

Weil es dazu kein Inverses gibt, um auf das neutrale Element der Multiplikation (Einselement=1) zu kommen.
Das hab ich auch geändert.

Vielleicht möchtest du mal drüber schauen:
[attach]19239[/attach]

Edit: Ich habe nun auch noch etwas zum Schiefkörper hinzugefügt:
[attach]19240[/attach]

25.04.2011, 15:30

tigerbine

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RE: und wieder zurück...
Es steht immer noch "dieses inverse Element" drin. Ferner gibt es außer "+" und "*" auch noch andere Verknüpfungen. Allgemein macht man oft einen $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ als Symbol. Weiteres Beispiel wäre Verknüpfung von Funktionen.

Beim Ring würde ich schreiben, dass es im Allgemeinen keine Gruppe bei "*" ist. Es ist ja nicht verboten. Also mehr geht immer. Wir schreiben aber immer die minimalen Anforderungen auf.

25.04.2011, 15:33

Pascal95

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RE: und wieder zurück...

Zitat:

Original von tigerbine
Es steht immer noch "dieses inverse Element" drin.

Soll ich schreiben: "Solch ein inverses Element"?

25.04.2011, 15:36

Pascal95

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Zitat:

Original von tigerbine
Beim Ring würde ich schreiben, dass es im Allgemeinen keine Gruppe bei "*" ist. Es ist ja nicht verboten. Also mehr geht immer. Wir schreiben aber immer die minimalen Anforderungen auf.

Das hab ich ja geschrieben: "Die Halbgruppe ... (keine Gruppe)."
Soll ich schreiben: "im Allgemeinen keine Gruppe" ?

25.04.2011, 15:43

tigerbine

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Zitat:

Soll ich schreiben: "im Allgemeinen keine Gruppe" ?

Genau.

Zitat:

Soll ich schreiben: "Solch ein inverses Element"?

Nein, jedes Element aus M ist invertierbar.

25.04.2011, 15:45

Pascal95

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Ich schreibe dann:

Zitat:

Existens inverser Elemente:
Jedes Element aus der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist invertierbar.
Zusammen mit einem beliebigen Element und dessen Inversem ergibt sich wieder das neutrale Element (s.o).

Ist das gut formuliert?

25.04.2011, 15:49

tigerbine

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Erster Satz ja. Das drück aber schon alles aus. Zweiter Satz weg.

25.04.2011, 15:51

Pascal95

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Dann hätte man nun insgesamt dies hier:
[attach]19243[/attach]

25.04.2011, 16:01

tigerbine

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Ja, wobei man oft nur den Buchstaben schreiben wird und Eingangs erwähnt, bzgl. welcher Verknüpfung. Es wird $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sowohl bei Gruppen als auch bei Ringen auftreten, und nur im Kontext ist dann klar, ob $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z,+,*) \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

25.04.2011, 16:03

Pascal95

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Ok, dann vielen Dank!

Das zum Schiefkörper war auch richtig?

25.04.2011, 16:03

tigerbine

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Ja, stimmt.

25.04.2011, 16:15

Pascal95

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Ok,

zu deinem Post von gestern würde ich übrigens sagen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ein Körper bzgl. der Addition und der Multiplikation ist.

Das würde ich dann anhand der Tabelle folgendermaßen begründen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist eine nichtleere Menge
$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ist eine innere binäre Verknüpfung (Magma) und ist assoziativ (Halbgruppe)
Es gibt das neutrale Element $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (Nullelement) (Monoid)
Jedes Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist invertierbar:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in \mathbb Q: a+(-a)=0 \end{eqnarray*}$ (Null wiederum ist das neutrale Element)
(Gruppe)
$\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ist auch kommutativ (abelsche Gruppe)
All dies gilt auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ mit dem Einselement $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und dem multiplikativ Inverse $\begin{eqnarray*} a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \, \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist ein Körper.

25.04.2011, 16:18

tigerbine

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Ja, Q ist ein Körper. Man wird das in der Algebra dann noch mal "anders" einsehen, bzw. es wird gezeigt, wie Q eigentlich definiert wurde. Zum checken der Begriffe ist es imho so aber ok.

25.04.2011, 16:20

Pascal95

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Vielen Dank!

Zitat:

Original von tigerbine
Man wird das in der Algebra dann noch mal "anders" einsehen, bzw. es wird gezeigt, wie Q eigentlich definiert wurde.

Aber das würde mich doch mal interessieren.

25.04.2011, 16:26

tigerbine

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Das führt mir nun aber zu weit. Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenk%C3%B6rper

25.04.2011, 16:27

Pascal95

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Entschuldige, ich bin manchmal ziemlich interessiert Augenzwinkern

Kennst du vielleicht eine gute Seite mit Übungen zur Bestimmung von Körpern / Ringen ?

25.04.2011, 16:28

tigerbine

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Siehe edit.

Interesse ist ja nichts schlimmes. Big Laugh

Leider keine Seite.

25.04.2011, 16:34

Pascal95

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Den "Quotientenkörper" werde ich mir auch noch ansehen.
Da tauchen schon einige für mich neue Begriffe auf.

Aber ich habe noch eine Frage:
Ich habe mich kürzlich mit Kongruenzen und Modulorechnung beschäftigt.
Dabei taucht der Begriff des Restklassenrings auf:
Dieser hat dann bzgl. $\begin{eqnarray*} \mod m \end{eqnarray*}$ eben die Elemente $\begin{eqnarray*} \{ 0,1,2,...,m-1 \} \end{eqnarray*}$ . Aber wie kann den ein Ring nur endlich viele Elemente enthalten?
Meine Vermutung: Es geht dann von vorne weiter (ansonsten wären die Verknüpfungen ja gar nicht abgeschlossen). Es gilt ja auch bekanntlich dann $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ (bzgl $\begin{eqnarray*} \mod m \end{eqnarray*}$ ).
Allerdings verstehe ich den Zusammenhang mit dem, was ich über Ringe gelernt habe, nicht besonders.
Und noch verwirrender: Wenn $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist, spricht man sogar von einem Körper, warum?

25.04.2011, 16:40

tigerbine

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1. Wo steht in den ganzen Definitionen, dass M unendlich viele Elemente haben muss? => nirgendwo.

Deine eine Frage ist "kleiner Finger - ganze Hand". Das fachlich korrekt aufzubereiten: Lies ein Buch Big Laugh

um ein Gefühl dafür zu bekommen:

Nimm dir doch mal m=4 und m=5 her und stelle selbst mal Gruppentafeln für "M,+" auf. Modulo heißt ja, welcher Rest bleibt bei Division durch m.

Dann mach eine Tafel für "*". Ist das dann in beiden Fällen auch eine Gruppentafel?

25.04.2011, 17:02

Pascal95

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Meinst du eine Tabelle für + mit 0,1,2,3 verknüpft?

25.04.2011, 17:05

Pascal95

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[attach]19244[/attach]

25.04.2011, 17:35

tigerbine

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Und, was stellst du fest? Wie sieht es mit * aus?