Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

24.04.2011, 23:46

Pascal95

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Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Hallo,

in dem Thema "Gruppen, Ringe, Körper" bin ich gerade neu.

Da ich mich auch ein bisschen schwer tue, die Begriffe zu lernen, frage ich, ob es vielleicht soetwas wie eine Liste gibt, wo nach und nach erklärt wird, wie aus dem einen das andere wird (falls das überhaupt bei den Themen geht).

Das wäre dann z.B.:
Betrachte eine Menge. (Menge)
Füge eine binäre Verknüpfung hinzu (Gruppe)
....

usw.

Ich kann natürlich nicht erwarten, dass mir sowas hier vollständig geschrieben wird.
Es wäre allerdings hilfreich, um die Thematik und vor allem die Verbindung zwischen den Bereichen gut zu verstehen.

Vielen Dank,
Pascal

24.04.2011, 23:57

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Wenn du mit meinem laienhaften Kommentar beginnen magst.

Beginne mit einer Menge. Dann gebe ihr eine innere Verknüpfung *. Dann fordere, dass * assoziativ ist (Halbgruppe). Dann fordere ein neutrales Element (Monoid). Dann fordere inverse Elemente (Gruppe). Vielleicht soll * auch kommutativ sein.

Nimm eine abelsche "additive" Gruppe. Nun willst du noch eine Verknüpfung "*". Wieder forderst du aber nur wenig (Halbgruppe) und regelst + und * mit Distributivgesetzen. Dann bist du bei einem Ring. Für die multiplikative Gruppe kannst du nun auch wieder die Forderungen erhöhen.

Wann bist du bei einem Körper? Wenn du auch bzgl *eine kommutative Gruppe hast.

Bemerkung: Für Ringe gibt es noch andere interne Unterscheidungsmerkmale, aber ich denke, das führt im Moment zu weit.

24.04.2011, 23:59

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
Wenn du mit meinem laienhaften Kommentar beginnen magst.

Ja, was weiterreichendes wäre zu hoch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von tigerbine
Beginne mit einer Menge. Dann gebe ihr eine innere Verknüpfung *.

Nennt man das Magma ?

25.04.2011, 00:01

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ja.

25.04.2011, 00:03

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ok...

Zitat:

Original von tigerbine
Beginne mit einer Menge. Dann gebe ihr eine innere Verknüpfung *. Dann fodere, dass * assoziativ ist (Halbgruppe). Dann fordere ein neutrales Element (Monoid). Dann fordere inverse Elemente (Gruppe). Villeicht soll * auch kommutativ sein.

Also muss eine Gruppe nicht kommutativ sein (die nennt man dan abelsch?) ?

25.04.2011, 00:04

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Genau, sie muss nicht. Wenn, dann abelsch.

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25.04.2011, 00:06

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ok, du bist toll!

Zitat:

Original von tigerbine
Nimm eine abelsche "additive" Gruppe.

Für die gilt das Kommutativgesetz.
Aber was bedeutet "additiv". Meint man, dass eben diese Verknüpfung " $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ " heißt ?

25.04.2011, 00:08

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ja, man will nun "+" haben und sich mit "*" langsam vorarbeiten.

25.04.2011, 00:10

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
Ja, man will nun "+" haben und sich mit "*" langsam vorarbeiten.

Das heißt dann aber nicht, dass man wirklich "plus" rechnet? Ich habe nämlich schon häufig sowas in der Art gelesen:

Zitat:

" $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ " = $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$

Das ist dann eine Definition in der Gruppe für die Man "+" als Symbol verwendet?
Habe ich das so richtig verstanden?

Zitat:

Original von tigerbine
Nimm eine abelsche "additive" Gruppe. Nun willst du noch eine Verknüpfung "*"

Die andere bleibt bestehen?
Man hat dann 2 Verknüpfungen? (wird auch Gruppe genannt?)

25.04.2011, 00:15

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Es soll schon "+" sein (M,+). Und hier nun nicht in der Schreibweise "switchen". Denn die Potenzschreibweise nehmen wir ja, wenn wir (M\{0},*) betrachten.

Die Menge bleibt (bis auf die 0). Aber nun definiert man darauf eine neue Verknüpfung, "*".

M mit 2 Verknüpfungen wie ich sie beschrieben habe ist dann ein Ring.

25.04.2011, 00:19

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
Nun willst du noch eine Verknüpfung "*".

Aber wie viele Verknüpfungen hat man zur Zeit und was ist das genau jetzt?

25.04.2011, 00:21

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
2 Verknüpfungen "+" und "*".

25.04.2011, 00:23

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
2 Verknüpfungen "+" und "*".

Du meintest ja mit 2 Verknüpfungen wärs ein Ring. Aber in deinem ersten Post sagst du, dass noch Distributivität geregelt werden müsse?

25.04.2011, 00:24

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ja, und? Man muss doch wissen, wie man "+" und "*" verbindet. a*(b+c)=a*b+a*c meine ich damit zum Beispiel.

25.04.2011, 00:26

Pascal95

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Entschuldige, dass ich mich so anstelle.
Aber ich wollte nur wissen, wann es genau ein Ring ist.
Dazu muss also Distributivität gelten?

25.04.2011, 00:29

tigerbine

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Ja, sagte ich doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://de.wikipedia.org/wiki/Ringtheorie

25.04.2011, 00:33

Pascal95

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Nennt man einen Ring denn auch noch (spezielle) Gruppe?
Ich verstehe das so als Überbegriff wie in etwa "jeder Ring ist eine Gruppe"?

25.04.2011, 00:35

tigerbine

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Nein, denn eine Gruppe hat nur eine Verknüpfung, ein Ring hat zwei.

25.04.2011, 00:36

Pascal95

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Ok,
Jetzt lese ich gerade:
[attach]19231[/attach]
Das bedeutet doch einfach gesagt, dass eine Verknüpfung kommutativ (abelsche Gruppe) und die andre assoziativ (halbgruppe) ist?
Kann man das so sagen?

25.04.2011, 00:40

tigerbine

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Sagte ich doch bereits. Du vergisst in deiner Zusammenfassung (nicht im Bild) die Distributivität.

25.04.2011, 00:45

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
Beginne mit einer Menge. Dann gebe ihr eine innere Verknüpfung *. Dann fordere, dass * assoziativ ist (Halbgruppe). Dann fordere ein neutrales Element (Monoid). Dann fordere inverse Elemente (Gruppe). Vielleicht soll * auch kommutativ sein.

Nimm eine abelsche "additive" Gruppe. Nun willst du noch eine Verknüpfung "*". Wieder forderst du aber nur wenig (Halbgruppe) und regelst + und * mit Distributivgesetzen. Dann bist du bei einem Ring. Für die multiplikative Gruppe kannst du nun auch wieder die Forderungen erhöhen.

Ach, jetzt versteh ich das!
Die Halbgruppe war nur auf die eine Verknüpfung bezogen.

25.04.2011, 00:48

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Genau. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2011, 00:49

Pascal95

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper

Zitat:

Original von tigerbine
Für die multiplikative Gruppe kannst du nun auch wieder die Forderungen erhöhen.

Das war die assoziative (Halbgruppe), richtig?

Was für Forderungen kann man da denn erhöhen smile

smile

25.04.2011, 00:52

tigerbine

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RE: Menge -> Gruppe -> Ring -> Körper
Ja. Wie gesagt, innerhalb von Ringen müßten wir nun zu viele Begriffe einführen. Ich würde mir mal anschauen, was nun einen Körper ausmacht.

25.04.2011, 00:55

Pascal95

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Also hier [Wikipedia: Körper (Algebra) - Definition als spezieller Ring] wird der Körper als spezieller Ring definiert.
Müsste ich dazu erstmal mehr über Ringe erfahren oder traust du mir das schon zu?

25.04.2011, 01:00

tigerbine

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Nein, den Körper traue ich dir direkt zu.

25.04.2011, 01:08

Pascal95

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Dann wäre ja mit dem was ich hier gelernt habe und vor allem was in deinem ersten Post stand ein Körper:

- ein spezieller Ring
- Dieser Ring hat wie jeder Ring zu der Menge zwei binäre Verknüpfungen, und zwar " $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ".
- Also schreibt man $\begin{eqnarray*} R=(M,+,*) \end{eqnarray*}$
- Die Gruppen die da drin stecken $\begin{eqnarray*} G_1=(M,+) \end{eqnarray*}$ ist abelsch also gilt Kommutativität, die andre gruppe die da auch drin steck $\begin{eqnarray*} G_2=(M,*) \end{eqnarray*}$ soll eine Halbgruppe sein, also soll Assoziativität gelten.
- Die einzige sache, die den Körper nun ausmacht ist dass die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ auch abelsch sein muss also wie du so schön geschrieben hast bezüglich * die Kommutativität geregelt sein.

Dann hoffe ich mal, das das richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nebenfrage:
Jetzt ist ja $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ schon kommutativ und assoziativ UND $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ist nur kommutativ weil wir im Körper sind.
Aber was wäre wenn $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ eine Halbgruppe wäre?

25.04.2011, 01:11

tigerbine

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Ein Körper K ist ein spezieller Ring. Dort ist bzgl. der Multiplikation (K\{0},*) eine abelsche Gruppe. "0 muss raus genommen werden, da haben wir kein Inverses zu."

25.04.2011, 01:13

Pascal95

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War das andere denn grad richtig was ich zum Körper gesagt habe?

25.04.2011, 01:15

tigerbine

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Nein, denn in einem Ring hat man ja nur i.A. nur eine Halbgruppe mit "*". Und man muss im Körper die 0 rausnehmen und dann kann man Gruppe mit * fordern.

Betrachte man die ganzen Zahlen mit + und *. Additiv alles super => abelsche Gruppe. Mit * eine Halbgruppe, wir haben sogar eine 1 und sind kommutativ. Aber multiplikative Inverse haben wir nur für -1 und 1.

=> Kein Körper.

Wie schaut es bei Q aus?

25.04.2011, 01:17

Pascal95

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Ich meinte jetzt nicht das was ich als "Nebenfrage" gekennzeichnet habe sondern das im selben Post direkt darüber.
Ob das denn richtig ist`?

Edit: Du darfst mir auch wieder antworten, wenn du willst smile

smile

Ich habe noch eine Frage wozu ich jetzt hier einfach schreibe: Ist es richtig, dass eine innere Verknüpfung aus einem Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und noch einem Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ wieder ein Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ergibt.
Das nennt man dann "abgeschlossen"? $\begin{eqnarray*} M \times M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ und eben $\begin{eqnarray*} M \times M \end{eqnarray*}$ weil es nur ne binäre ist. das wird wieder auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abgebildet und ist abgeschlossen deswegen??

25.04.2011, 01:37

tigerbine

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Zitiere dich...

25.04.2011, 01:40

Pascal95

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Zitat:

Original von Pascal95
Dann wäre ja mit dem was ich hier gelernt habe und vor allem was in deinem ersten Post stand ein Körper:

- ein spezieller Ring
- Dieser Ring hat wie jeder Ring zu der Menge zwei binäre Verknüpfungen, und zwar " $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ".
- Also schreibt man $\begin{eqnarray*} R=(M,+,*) \end{eqnarray*}$
- Die Gruppen die da drin stecken $\begin{eqnarray*} G_1=(M,+) \end{eqnarray*}$ ist abelsch also gilt Kommutativität, die andre gruppe die da auch drin steck $\begin{eqnarray*} G_2=(M,*) \end{eqnarray*}$ soll eine Halbgruppe sein, also soll Assoziativität gelten.
- Die einzige sache, die den Körper nun ausmacht ist dass die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ auch abelsch sein muss also wie du so schön geschrieben hast bezüglich * die Kommutativität geregelt sein.

Dann hoffe ich mal, das das richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2011, 01:45

tigerbine

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Zitat:

Original von Pascal95

Zitat:

Original von Pascal95
Dann wäre ja mit dem was ich hier gelernt habe und vor allem was in deinem ersten Post stand ein Körper:

- ein spezieller Ring
- Dieser Ring hat wie jeder Ring zu der Menge zwei binäre Verknüpfungen, und zwar " $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ " und " $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ".
- Also schreibt man $\begin{eqnarray*} R=(M,+,*) \end{eqnarray*}$
- Die Gruppen die da drin stecken $\begin{eqnarray*} G_1=(M,+) \end{eqnarray*}$ ist abelsch also gilt Kommutativität, die andre gruppe die da auch drin steck $\begin{eqnarray*} G_2=(M,*) \end{eqnarray*}$ soll eine Halbgruppe sein, also soll Assoziativität gelten.
- Die einzige sache, die den Körper nun ausmacht ist dass die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} G_2 \end{eqnarray*}$ auch abelsch sein muss also wie du so schön geschrieben hast bezüglich * die Kommutativität geregelt sein.

Dann hoffe ich mal, das das richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das meinte ich. Wenn es schon Gruppe ist, dann ja auch Halbgruppe. Das ist keine echte Forderung. Ferner ist es schon wichtig, dass es bzgl. * überhaupt eine Gruppe ist. da ist abelsch gar nicht nötig. Es gibt auch Schiefkörper.

25.04.2011, 01:49

Pascal95

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Das verwirrt mich jetzt (vielleicht auch weil es so spät schon ist)

Folgt denn aus "Es ist eine Gruppe" auch zwingend es "Es ist eine Halbgruppe"??
Schließlich war ja $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ keine Halbgruppe.

Edit:

Zitat:

Original von tigerbine
Es gibt auch Schiefkörper.

Das war jetzt zu viel. Trotzdem lerne ich gerade, dass die eine Gruppe eines Schiefkörpers eben nicht abelsch sein muss.

25.04.2011, 01:51

tigerbine

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Ja sicher folgt das. Gruppe ist doch viel stärker als Halbgruppe. Mach am besten morgen weiter.

Denke nicht so viel in Gruppen sondern in "enge und Verknüpfung" und frage dich, was da jeweils für Eigenschaften vorhanden sind.

25.04.2011, 01:56

Pascal95

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Zitat:

Original von tigerbine
Ja sicher folgt das. Gruppe ist doch viel stärker als Halbgruppe.

Achja, eine Gruppe ist ja immer Halbgruppe! (Richtig so???)

25.04.2011, 01:59

tigerbine

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Ja, stimmt so.

25.04.2011, 01:59

Pascal95

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Manchmal frage ich mich echt, was das soll wenn ich sowas höre:
- Jeder Schiefkörper ist ein Körper.
- Jede Gruppe ist eine Halbgruppe.

(nicht böse gemeint)

25.04.2011, 02:01

Pascal95

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Zitat:

Original von tigerbine
Mach am besten morgen weiter.

Das denk ich jetzt auch.
Ich darf doch in diesem Thread weiterschreiben?

Dann bis morgen Wink

Wink

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