irreduzible Polynome (2) [ÜAB]

25.04.2011, 02:11

tigerbine

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irreduzible Polynome (2) [ÜAB]

Ich habe mir mal einen Thread hier gesucht. Vielleicht kann mir jemand bei der Aufgabe helfen. So richtig habe ich noch keine Strategie um zu beurteilen, ob ein Polynom irreduzibel ist.

Zitat:

Ich soll folgende Polynome in irreduzible Polynome über den jeweiligen Körpern zerlegen:

a) x^5 - x^4 - x^3 + x + 1 über Z_3
b) x^4 + 8x^2 + 15 über R und C
c) x^5 - 1/2 * x^4 + 1/18 * x^3 + 2*x^2 - x + 1/9 über Q

Da es Polynomringe über Körpern sind, ist ein Polynom genau irreduzibel, wenn es nicht konstant ist, und sich in 2 Polynome niederen Grades faktorisieren lässt. [Die konstanten Polynome sind gerade die multiplikativ invertierbaren Elemente, Einheiten].

Sei $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb Z_3[x] \end{eqnarray*}$ (normiertes Polynom)

Versuche einen Linearfaktor abzuspalten. Es ist p(0)=1, p(1)=1, p(2)=2. Somit keine Nullstelle.
Wie sehen die irreduziblen normierten quadratischen Polynome hier aus? Ich hätte mir nun eine Tabelle [x,x+1,x+2]x[x,x+1,x+2] gemacht. Darin stehen die reduziblen. Die anderen sind irreduzibel. Insgesamt gibt es 3² normierte quadratische Polynome. Als irreduzibel bekomme ich $\begin{eqnarray*} x^2+1,~x^2+x+2,~x^2+2x+2 \end{eqnarray*}$ . Wir haben einen Nulteierfreien Ring, man konnte nun "Division mit Rest" machen und schauen, ob eine davon aufgeht. Ich wäre nun der Meinung [umgeschrieben...]

$\begin{eqnarray*} p= x^5 +2 x^4 +2 x^3 + x + 1 = (x^3+2x^2+x+1)(x^2+1) =:kq \end{eqnarray*}$
=> p ist reduzibel.
Der quadratische Faktor q ist irreduzibel. Untersuchung des kubischen Teil k und beginne wieder bei (1). Für k finde ich keine Nullstelle. wegen Grad 3 ist k somit irreduzibel.

Bei b) bin ich in bekannteren Gewässern und würde meinen, da keine Nullstellen über IR, zerfällt es aber in quadr. Irreduzibe Polynome. Mit Substitution und Lösungsformel

$\begin{eqnarray*} x^4 + 8x^2 + 15 = (x^2+3)(x^2+5) \end{eqnarray*}$

über C zerfällt es in Linearfaktoren

$\begin{eqnarray*} x^4 + 8x^2 + 15 = (x+\sqrt{3}i)(x-\sqrt{3}i)(x+\sqrt{5}i)(x-\sqrt{5}i) \end{eqnarray*}$

Bei (c) ... verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} p=x^5 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{18}x^3 + 2x^2 - x + \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

Ich dürfte es ja umschreiben, weil ich nur eine Einheit ausklammere

$\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{18}(18x^5 -9x^4 +x^3 + 36x^2 - 18x +2) \end{eqnarray*}$

in der Hoffnung, dass das hintere Polynom über Z beurteilen zu können. Eisenstein geht nicht. Im Moment keine Idee, wie man ansetzen würde.

25.04.2011, 05:17

juffo-wup

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Zu c): Kennst du diesen Satz? Damit findet man mit vertretbarem Aufwand eine rationale Nullstelle. Dann bleibt ein Polynom vom Grad 4, bei dem sich Faktorisieren modulo 7 anbietet (hatte zuerst noch modulo 5 versucht, aber das brachte nichts).

25.04.2011, 14:34

tigerbine

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Nein, oder sagen wir, ich kannte nur für normierte Polynome [Nenner=1], dass eine ganzzahlige Nullstelle [Zähler] das Absolutglied teilen muss. Ist ja klasse, dass das allgemeiner geht.

Dieses Modulo-Verfahren habe ich gestern Nacht zum ersten mal in einem Buch gesehen. In meinen Unterlagen steht das gar nicht...

Ich werde das nun mal versuchen. Kann jemand mein Vorgehen bei a und b derweil kommentieren.

Wink

Wink

======================================
edit:1
Also mit dem System habe ich nun die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_1=\frac{1}{3},~x_2=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ermittelt. Andere rationale Nullstellen gibt es nicht [brute force hier mal alle Varianten getestet]

Nun kann man die Funktion im Grad reduzieren. Das würde hier mit beiden sogar sehr schön gehen.

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

(18x^5  - 9x^4  + x^3  + 36x^2  - 18x  + 2) : (x^2 - 1/2x + 1/18)  =  18x^3 + 36  
 18x^5  - 9x^4  + x^3                     
 —————————————————————————————————————————
                         36x^2  - 18x  + 2
                         36x^2  - 18x  + 2
                         —————————————————
                                         0

Das es keine weitere rationale Nullstelle gibt, sieht man nun auch noch mal sehr schon. Am Ende hätten wir

$\begin{eqnarray*} p=(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{6})(x^3+2) \end{eqnarray*}$

Werde nun das mit dem modulo mal versuchen.
======================================
edit:2

Mit der Modulo Idee kann ich dir nicht folgen.

25.04.2011, 20:50

juffo-wup

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Ah, ich hatte mich verrechnet und die Nullstelle 1/6 nicht gefunden. So ist es noch leichter: x^3+2 ist ja einfach nach Eisenstein irreduzibel. Modulo 7 könnte man auch feststellen, dass es keine Nullstelle gibt, also irreduzibel über F_7 und damit über Z.

Deine Lösung bei a) ist richtig und hätte ich auch so gemacht, allerdings wäre es nicht nötig gewesen nochmal zu prüfen, ob k eine Nullstelle hat, denn die wäre dann ja auch Nullstelle von p.

Bei b) komme ich auch auf das gleiche.

25.04.2011, 21:09

tigerbine

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Wie hattest du das denn ohne die zweite Nullstelle mit modulo gemacht?

25.04.2011, 21:19

Mystic

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Aus algorithmischer Sicht geht es allerdings für a) einfacher, indem du der Reihe nach (in Maple-Notation) folgende ggT überprüfst

Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^3-x) mod 3;

Dies zeigt an, ob es Nullstellen im Grundkörper gibt...Kommt hier 1 aus, so setzte fort mit

Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^9-x) mod 3;

Damit erhältst du das Produkt aller irreduziblen Polynome, welche einerseits in p enthalten sind andererseits einen Grad haben, welcher 2 teilt... Dies zeigt hier bereits, dass p nicht irreduzibel ist, du kannst zum Spaß auch noch

Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^27-x) mod 3;

berechnen...

Damit erhältst du das Produkt aller irreduziblen Polynome, welche einerseits in p enthalten sind andererseits einen Grad haben, welcher 3 teilt...

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25.04.2011, 22:17

juffo-wup

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Zitat:

Original von tigerbine
Wie hattest du das denn ohne die zweite Nullstelle mit modulo gemacht?

Ich hatte $\begin{eqnarray*} \frac{18x^5 - 9x^4 + x^3 + 36x^2 - 18x + 2}{x -\frac{1}{3}}= 18 x^4- 3 x^3+ 36 x-6 \end{eqnarray*}$ berechnet und dachte, dass es keine weiteren rationalen Nullstellen gäbe. Dann habe ich durch Probieren die Nullstelle -1 in F_7 gefunden und mit Polynomdivision $\begin{eqnarray*} \frac{ 18 x^4- 3 x^3+ 36 x-6}{x +1}=4x^3+1 \end{eqnarray*}$ berechnet. Das Polynom rechts hat keine Nullstelle in F_7, ist also irreduzibel. Falls $\begin{eqnarray*} 18 x^4- 3 x^3+ 36 x-6 \end{eqnarray*}$ reduzibel wäre, dann würde es in 2 Faktoren vom Grad 2 zerfallen (weil es wie ich dachte keine Nullstelle mehr gibt) und in F_7 daher auch (wobei dort die quadratischen Fakoren eventuell noch weiter zerfallen könnten). Da es modulo 7 aber einen irreduziblen kubischen Faktor gibt, ist das nicht möglich.

25.04.2011, 22:24

tigerbine

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Ah, ok. Dort auch nach Nullstellen gesucht.

26.04.2011, 00:20

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Ah, ok. Dort auch nach Nullstellen gesucht.

Ja, ist auch einfacher so... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast übrigens den shortcut zu a), den ich oben vorgeschlagen habe, schon ausprobiert?

26.04.2011, 00:31

tigerbine

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Frage zum shortcut. Muss ich da erst ein Paket aufrufen. Hab eine alte Maple Version (V Release 5). Gaul und Maul, um in unserer Pferdesprache zu bleiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

code:
1:	Error, (in mod/Expand) the modular inverse does not exist

zum anderen:
So richtig habe ich das mit dem Modulo-Weg aber noch nicht drauf...

edit:

code:
1: 2: 3:	gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^3-x) mod 3; 1

klein geschrieben nimmt er es wohl verwirrt

verwirrt

26.04.2011, 01:15

Mystic

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Naja, ich hab Maple 14 und ich glaube Maple 15 steht auch schon vor der Tür... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das erste Ergebnis (mit Kleinschreibung von gcd) stimmt ja auch... Hast die anderen Ausdrücke auch probiert?

26.04.2011, 01:25

tigerbine

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Schätze du hast nen Sponsor. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei den anderen kommt bei mir immer 1 raus.

26.04.2011, 01:34

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Bei den anderen kommt bei mir immer 1 raus.

Schade, da kann man dann nichts machen... unglücklich

unglücklich

Du kannst aber den nächsten Fall auch noch manuell ausrechnen, falls dir das nicht zu fad ist... Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 01:39

tigerbine

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Glaube ich habe den Fehler. Gcd gibt es bei mir doch, hatte imho das Fenster zu lange auf und x konkret belegt, aber schon wieder optisch gelöscht [maple ist mein virtueller Schmierzettel]. Neustart:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15:	Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^3-x) mod 3; 1 > Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^9-x) mod 3; 2 x + 1 > > Gcd(x^5-x^4-x^3+x+1,x^27-x) mod 3; > 3 2 x + 2 x + x + 1

Und dein Trick ist nun, in x³-x geschickt alle linearen Polynome zu vereinen?

26.04.2011, 01:48

Mystic

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Ja, in $\begin{eqnarray*} x^3-x \end{eqnarray*}$ sind alle normierten linearen Polynome vereint, in

$\begin{eqnarray*} x^{3^m}-x \end{eqnarray*}$

alle normierten irreduziblen Polynome, deren Grad m teilt... Das ist der Trick bei der ganzen Sache...

Das eigentlich Komplizierte, nämlich obige Produkte, die man nach Bildung des Gcd(...) erhält, noch zu faktorisieren, bleibst uns hier erspart, da sie nur jeweils aus einem Faktor bestehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 01:50

tigerbine

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Ich sehe schon: Algebra - eine Trickkiste... Wann treten ihr in Las Vegas auf...?

26.04.2011, 01:58

Mystic

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Für die Algebra würde ich das nicht sagen wollen, da fielen mir vorher noch die Zahlentheorie oder die Kombinatorik ein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber bin dann für heute weg... Gute Nacht... Wink

Wink

26.04.2011, 01:59

tigerbine

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Danke dir und gute Nacht. Schläfer

Schläfer

Hier scheint mir der Mond noch ein wenig ...

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