Beweis Supremum (n/(n+1)) = 1

25.04.2011, 11:07

mika_r1

Beweis Supremum (n/(n+1)) = 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich schon wieder... hier die nächste Aufgabe, mit der ich mich einfach nicht anfreunden kann:

Beweisen Sie detailliert, rigoros und ohne Einsatz von Differential- oder Grenzwertrechnung:

$\begin{eqnarray*} sup \left\{ {n \over (n+1)} : n \in \mathbb N, n \geq 1 \right\} = 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:

Angenommen es existiert eine obere Schranke mit

$\begin{eqnarray*} {n \over (n+1)} \leq s \le 1 \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists a \in \mathbb R, a \neq 0: s = 1-a \geq {n \over (n+1)} \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} 1-a \geq {n \over (n+1)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1-a)(n+1) \geq n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n+1 - a(n+1) \geq n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 \geq a(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \leq {1 \over (n+1)} \end{eqnarray*}$

Also wähle ich ein beliebiges n bzw a:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq a(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 \geq {1 \over n+1}(n+1) \end{eqnarray*}$

Dafür stimmt die Gleichung. Jetzt wähle ich ein m := n+1:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq {1 \over n+1}(m+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 \geq {1 \over n+1}(n+2) \end{eqnarray*}$

und offensichtlich stimmt das ganze nicht mehr. Also gilt die Relation nur für a = 0, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Das ganze scheint mir aber sehr schwammig... ;-) Wäre super, wenn mich jemand in die richtige Richtung schubsen könnte.

Danke schon mal.

25.04.2011, 11:57

Cel

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Tagchen,

ich denke, dass dein Ansatz gar nicht mal sooo falsch ist. Aber da müssen wir noch mal ran.

Zunächst einmal: Was ist ein Supremum? Eine spezielle obere Schranke, nämlich die kleinste. Der erste Schritt ist zu zeigen, dass 1 überhaupt eine obere Schranke ist. Du musst dafür nichts annehmen, du bekommst schon gesagt, dass 1 das Supremum ist.

Zeige also erst einmal $\begin{eqnarray*} \frac n{n+1} \leq 1 \, \forall \, n \end{eqnarray*}$ .

Danach geht es mit der kleinsten oberen Schranke weiter und dort ist schon dein erstes Ungleichheitszeichen falsch.

Man nehme ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ her. Was gilt dann, wenn 1 das Supremum ist?

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} \, : 1 - \varepsilon < \frac n{n+1} \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition.

So weit erst mal. Verstehst du alles bis hierhin? Was müsstest du jetzt machen?

25.04.2011, 12:47

mika_r1

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OK. Soweit verstanden.

zu 1 (1 ist obere Schranke):

$\begin{eqnarray*} 1 \geq {n \over (1+n)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (1+n) \geq n \end{eqnarray*}$

das stimmt offensichtlich, da $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

zu 2:

Hierfür müsste ich jetzt ein n finden, für das die Ungleichung stimmt.

Also offentsichtlich ist ja $\begin{eqnarray*} 1-\epsilon \le 1 \end{eqnarray*}$

Da hört es aber auch schon wieder auf. Ich kann ja nicht einfach beliebige Werte Wählen, sodass alles passt oder?

25.04.2011, 13:53

Cel

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Was möchtest du denn da einsetzen? Da ist ja quasi nichts mehr einzusetzen, denn Epsilon ist beliebig.

Zitat:

Original von Cel
Man nehme ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ her. Was gilt dann, wenn 1 das Supremum ist?

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb{N} \, : 1 - \varepsilon < \frac n{n+1} \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition.

Du musst zeigen, dass ein solches n existiert. Und wie machst du das? Löse nach n auf, dann hast du eines gefunden. Und du brauchst auch nur eines.

25.04.2011, 14:35

mika_r1

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Ah... OK.

Ich habe jetzt wie folgt aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} 1 - \epsilon < {n \over (n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1) - \epsilon(n+1) < n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1 - n\epsilon - \epsilon < n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - n\epsilon - \epsilon < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 - \epsilon < n\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} { (1 - \epsilon) \over \epsilon } < n \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist es offensichtlich, dass ein solches n existiert da $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ beliebig. Richtig?

25.04.2011, 14:43

Cel

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Nein, es ist offensichtlich, dass ein solches n existiert, weil du es bestimmt hast. Oder anders: Es ist offensichtlich, dass es existiert, weil Epsilon echt größer als Null ist. Das Epsilon ist beliebig, aber fest. Und man findet immer eine natürliche Zahl, die größer als dieser Quotient ist.

Jedenfalls wärst du mit der Aufgabe fertig, falls du alles verstanden hast. Wenn nicht, dann frage noch mal nach. smile

25.04.2011, 14:59

mika_r1

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Jau... ich habs! Vielen Dank. Musste erstmal im Kopf sortieren und mir klar machen, dass Epsilon ja dann doch fix ist.

Schöne Rest-Ostern. ;-)

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