Gruppe bzgl Matrixmultiplikation

25.04.2011, 14:34

Beginnerboy

Gruppe bzgl Matrixmultiplikation

Hey Leute, habe eine Aufgabe:

Beweisen Sie:
O(n) und U(n) sind Gruppen bezüglich der Matrixmultiplikation.
Handelt es sich hierbei sogar um abelsche Gruppen?

Die Gruppenaxiome kenne ich und weiß größtenteils auch wie man Gruppen nachweist. Aber was sind O(n) und U(n)?

25.04.2011, 14:37

Math1986

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RE: Gruppe bzgl Matrixmultiplikation

Zitat:

Original von Beginnerboy
Die Gruppenaxiome kenne ich und weiß größtenteils auch wie man Gruppen nachweist. Aber was sind O(n) und U(n)?

Ich vermute mal dass hiermit die orthogonalen bzw unitären Matrizen gemeint sind, im Zweifel nachschlagen wie es definiert wurde

25.04.2011, 14:55

Beginnerboy

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danke für die schnelle antwort smile

dann würde es reichen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} O(n)\subset GL(n) \end{eqnarray*}$ , also:
1. $\begin{eqnarray*} E \in O(n) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} A^{-1} \in O(n) \end{eqnarray*}$
3. Für alle $\begin{eqnarray*} A, B \in O(n) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} AB \in O(n) \end{eqnarray*}$ .

bzw das gleiche für U(n).

1. $\begin{eqnarray*} E^T \cdot E = E \cdot E^T = E \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} E^T \cdot \overline{E} = E \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot {(A^{-1})}^T = A^T \cdot {(A^T)}^T = A^T \cdot A = E \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} \overline A^T\cdot {A}=E=\overline E=\overline{\overline A\cdot A^T}=\overline{\overline{A}}\cdot\overline{A^T}=A\cdot \overline A^T=E \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} (AB)^T \cdot AB = B^T \cdot A^T \cdot A \cdot B = B^T \cdot E \cdot B = E \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} (AB) \cdot (B^{-1} A^{-1}) =AB B^{-1}A^{-1} = A E A^{-1} = A A^{-1} = E \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig?

25.04.2011, 19:12

Beginnerboy

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ups bei 3) hab ich bzgl der unitären matrizen was falsches hingeschrieben, es muss
$\begin{eqnarray*} (AB)^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{A} \cdot \overline{B} = B^T \cdot E \cdot \overline{B} = B^T \cdot \overline{B} = E \end{eqnarray*}$
lauten

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