Kleinste-Quadrate-Ausgleichsproblem, Normalengleichung

25.04.2011, 14:41

MatheCons

Kleinste-Quadrate-Ausgleichsproblem, Normalengleichung

Hi!
habe eine, denke ich, schöne aufgabe, nur leider bin ich absolut planlos, bin daher für jeden Ansatz dankbar! Augenzwinkern

Wenn man Reibungskräfte vernachlässigt, beschreibt die Flugbahn eines Objektes eine Parabel,
d.h.:
$\begin{eqnarray*} y(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 \end{eqnarray*}$ ,
wobei s die horizontale Position und y die vertikale Position, also die Höhe, des Objektes beschreibt.
Sie beobachten einige Grundschüler beim Kugelstoßen. Beim Stoß eines Schülers durchquert
die Kugel die folgenden Punkte (in Meter):
$\begin{eqnarray*} s_i\ 1\ 3\ 4\ 6<br /> y_i\ 1\ 2\ 2\ 1 \end{eqnarray*}$
1. Überlegen Sie sich eine geeignete Matrix A und Vektoren x und b, so dass Sie das Problem,
die Flugbahn der Kugel zu modellieren als Kleinste-Quadrate-Ausgleichsproblem
formulieren können.
2. Lösen Sie das Problem mit der Normalengleichung.
3. Fertigen Sie eine Skizze an.
4. Wo wird der Ball den Boden treffen? Ist die Rechnung exakt oder können Fehler auftreten?
Wenn ja, welche?

25.04.2011, 14:44

tigerbine

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Tipp.
1. Frage:
Was ist denn am Ende gesucht? Welche "Größen".

Anderer Funktionstyp, gleiche Idee: [WS] Lineare Ausgleichsprobleme - Beispiele

25.04.2011, 15:12

MatheCons

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also soweit ich das verstehe, wird das Ausgleichsproblem letztendlich in der Form ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} min|| Ax-b ||_2 \end{eqnarray*}$ , wobei A eine Matrix ist mit $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$
Das heißt, die Anzahl m der Gleichungen ist im allgemeinen größer
als die Anzahl n der Variablen, sodass nich von einer exakten Lösung des LGS Ax=b ausgegangen werden kann.
Aber ich komme absolut nicht drauf wie die Matrix in diesem Fall auszusehen hat, weil es meine erste solche Aufgabe ist..

25.04.2011, 15:16

tigerbine

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Das beantwortet meine Frage nicht. Am Ende willst du welche "Buchstaben" mit konkreten Werten ersetzen?

25.04.2011, 15:33

MatheCons

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Ich muss ja den Vektor x suchen, also die Werte $\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2 \end{eqnarray*}$ derart, dass wie gesagt $\begin{eqnarray*} || Ax-b ||_2 \end{eqnarray*}$ minimal wird.

habs jetzt so weit:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 16 \\ 1 & 6 & 36 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \rightarrow min ||\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 4 & 16 \\ 1 & 6 & 36 \end{vmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}||_2 \end{eqnarray*}$

25.04.2011, 15:47

tigerbine

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Zitat:

Ich muss ja den Vektor x suchen, also die Werte $\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2 \end{eqnarray*}$ derart, dass wie gesagt $\begin{eqnarray*} || Ax-b ||_2 \end{eqnarray*}$ minimal wird.

Du siehst hoffentlich ein, dass deine Bezeichnungen so doch Murks sind. "a" in einem Vektor, den du dann "x" nennst, und die Matrix kriegt das "A". unglücklich

Nur mal so als generellen Hinweis. Wir leiden halt am Buchstabenmangel. Big Laugh

Ja, aber wir suchen $\begin{eqnarray*} a_0, a_1, a_2 \end{eqnarray*}$ Freude

Matrizen bitte mit Runden klammern, sonst steht das für Determinante und wenn wie hier noch die Norm dazu basteln, sieht das ganz und gar unmöglich aus.

Die Einsetzung mit den Zahlen sieht mir dann korrekt aus. Augenzwinkern

Punkt 1 ist also fertig. Auf zu Punkt 2.

25.04.2011, 16:07

MatheCons

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ja auf meinem Augabenblatt war die Matrix mit eckigen Klammern versehen, hab das dann mit den Determinantenklammern verwechselt.

nunja habe mal weitergerechnet und zwar galt es zu lösen:
(Matrix M, Vektoren a,b) $\begin{eqnarray*} M^T*M*a = M^T*b \end{eqnarray*}$
Dazu habe ich $\begin{eqnarray*} M^T*M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M^T * b \end{eqnarray*}$ berechnet und das ganze per Gauß-Algorithmus gelöst und den Vektor a gefunden. Ist die Vorgehensweise richtig so?

25.04.2011, 16:16

tigerbine

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LGS ist richtig.

Lösung erfolgt in der Regel über (reduzierte) QR-Zerlegungen. Auch wenn andere Verfahren möglich sind, wird man es aus Konditionsgründen bevorzugen.

25.04.2011, 16:36

MatheCons

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gut, dann danke ich dir schonmal, soweit ist mir alles klar! smile

bis auf wann der ball den boden trifft. der vertikale wert (also y) müsste ja dann gleich 0 gesetzt werden so wie ich das sehe? und dann?

25.04.2011, 16:41

tigerbine

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Wie lauten denn nun die Werte für die "a"? Liefert eine 1D Funktion. Plotte die uns mal.

25.04.2011, 17:03

MatheCons

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habe für a0 = 0, a1 = -1/6, a2 = 7/6. Weiß leider nicht was eine 1D Funktion ist..

25.04.2011, 17:41

tigerbine

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Sorry, 1dimenensional war damit gemeint.

Modelleriert die Sache irgendwie nicht richtig. Wenn ich das rechnen lasse

code:

1:
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30:
31:
32:
33:
34:
35:

 A=[1,1,1;1,3,9;1,4,16;1,6,36]
A =
     1     1     1
     1     3     9
     1     4    16
     1     6    36
>> b=[1;2;2;1]
b =
     1
     2
     2
     1
>> A'*A
ans =
           4          14          62
          14          62         308
          62         308        1634
>> M=A'*A
M =
           4          14          62
          14          62         308
          62         308        1634

>> c=A'*b
c =
     6
    21
    87


>> M\c
ans =
   -0.0000
    1.1667
   -0.1667

Also a0=0, a1=7/6, a2=-1/6

Kommt das imho den Kugelstoßen schon was näher.

25.04.2011, 19:00

MatheCons

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cool, ich danke dir! smile

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