Binomialkoeffizient

25.04.2011, 15:23

mathea

Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Berechnen Sie die Summe \sum\limits_{k=m}^n \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} für natürliche Zahlen m\leq n (d.h. fi nden Sie eine einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt).

Meine Ideen:
Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht und bin an folgendem punkt :
\sum\limits_{k=m}^n \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =
=\sum\limits_{k=m}^n \frac{k!}{m!*(k-m)!}*\frac{n!}{k!*(n-k)!}= =\frac{n!}{m!}*\sum\limits_{k=m}^n \frac{1}{(k-m)!*(n-k)!}=
=\frac{n!}{m!}*[\frac{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\frac{1}{(m+1-m)!*
(n-(m+1))!}+\frac{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+...+\frac{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\frac{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\frac{1}{(n-m)!\frac{1}{(n-n)!}]=
=\frac{n!}{m!}*[\frac{1}{0!*(n-m)!}+\frac{1}{1!*(n-(m+1))!}+\frac{1}{(2!*(n-(m+2))!}+...+\frac{1}{(n-2-m)!*2!}+\frac{1}{(n-1-m)!*1!}+\frac{1}{(n-m)!*0!}]

weiter komme ich leider im moment nicht...
aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man muss da ganz anders rangehen?
für hinweise wäre ich sehr dankbar!
lg
Intreressant ist noch, dass für m=0 gerade 2^{n} herauskommt...

25.04.2011, 15:34

Math1986

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RE: Binomialkoeffizient
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Zitat:

Original von mathea
Meine Frage:
Berechnen Sie die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n \binom{ k}{m}\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$ (d.h. fi nden Sie eine einfache Formel, in der keine Summe mehr vorkommt).

Meine Ideen:
Hallo ihr lieben, ich hab jetzt ne weile daran rumgedreht und bin an folgendem punkt :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n \binom{ k}{m}\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=m}^n \frac{k!}{m!*(k-m)!}*\frac{n!}{k!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{m!}*\sum_{k=m}^n \frac{1}{(k-m)!*(n-k)!} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{m!}*\left(\frac{1}{(m-m)!*(n-m)!}+\frac{1}{(m+1-m)!*(n-(m+1))!}+\frac{1}{(m+2-m)!*(n-(m+2))!}+\ldots+\frac{1}{(n-2-m)!*(n-(n-2))!}+\frac{1}{(n-1-m)!*(n-(n-1))!}+\frac{1}{(n-m)!}\frac{1}{(n-n)!}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{n!}{m!}*\left(\frac{1}{0!*(n-m)!}+\frac{1}{1!*(n-(m+1))!}+\frac{1}{(2!*(n-(m+2))!}+\ldots+\frac{1}{(n-2-m)!*2!}+\frac{1}{(n-1-m)!*1!}+\frac{1}{(n-m)!*0!}\right) \end{eqnarray*}$

weiter komme ich leider im moment nicht...
aber vielleicht bin ich ja auch auf dem holzweg und man muss da ganz anders rangehen?
für hinweise wäre ich sehr dankbar!
lg

Zitat:

Intreressant ist noch, dass für $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$ herauskommt...

Ja, das ist der sog. binomische Lehrsatz!

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