Metrik auf R^2

25.04.2011, 22:08

schweizerkäse

Metrik auf R^2

Meine Frage:
Betrachten Sie für x,y $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) := ||x-y||_{2}, \end{eqnarray*}$ falls x= $\begin{eqnarray*} \lambda y \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) := ||x||_{2} + ||y||_{2} \end{eqnarray*}$ sonst,

und zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} d_{F} \end{eqnarray*}$ eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Es sind 3 Dinge nachzuweisen:

1. positiv definit
2. symmetrisch
3. Dreiecks-Ungleichung

Zu 1.

- $\begin{eqnarray*} ||x-y||_{2} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}-y{i}|^{2} } \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y{i}|^{2} \end{eqnarray*}$ nach der Definition vom Betrag immer größer gleich 0 sein muss und somit auch die Summe darüber

- $\begin{eqnarray*} ||x||_{2} + ||y||_{2} = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}|} + \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |y_{i}|} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} |x_{i}| und |y_{i}| \end{eqnarray*}$ nach der Definiton des Betrrags immer größer gleich 0 sein müssen und somit auch die summen darüber

kann mir jemand sagen ob das soweit erstmal richtig ist bevor ich weiter mache ?

25.04.2011, 22:33

zweiundvierzig

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Du musst auch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d_F(x,y) = 0 \iff x = y \end{eqnarray*}$ .

25.04.2011, 22:40

schweizerkäse

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stimmt das habe ich vergessen

also:

- x=y => $\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) = ||x-y||_{2} = ||x-x||_{2} = ||0||_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) =0 => ||x-y||_{2} = 0 => \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}-y_{i}|^{2}} = 0 => x=y \end{eqnarray*}$ , weil die Summe nur 0 sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y_{i}| \end{eqnarray*}$ =0 ist und dafür muss x=y sein

so dann?

25.04.2011, 22:45

schweizerkäse

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aber wie soll das für den anderen fall gehen ?

25.04.2011, 22:45

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von schweizerkäse
$\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) =0 => ||x-y||_{2} = 0 => \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}-y_{i}|^{2}} = 0 => x=y \end{eqnarray*}$ , weil die Summe nur 0 sein kann, wenn $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y_{i}| \end{eqnarray*}$ =0 ist und dafür muss x=y sein

so dann?

Was Du geschrieben hast, stimmt. Allerdings hast Du nach dieser Berechnung den zweiten (a priori möglichen) Fall unterschlagen, dass $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und $\begin{eqnarray*} d_F(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Edit: Naja, nimm an, es gäbe linear unabhängige (also insbes. ungleiche) $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_F(x,y) = \Vert x \Vert_2 + \Vert y \Vert_2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Was folgerten wir dann?

25.04.2011, 22:47

schweizerkäse

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sorry ich weiß jetzt nicht ganz was du meinst

25.04.2011, 22:54

schweizerkäse

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also wenn $\begin{eqnarray*} d_{F} = ||x||_{2} + ||y||_{2} = 0 => ||x||_{2} = - ||y||_{2} \end{eqnarray*}$

25.04.2011, 22:55

zweiundvierzig

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Und was weißt Du noch über die Zahlen $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert_2, \Vert y \Vert_2? \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

25.04.2011, 22:59

schweizerkäse

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dass sie positiv und nicht linear abhängig sind

25.04.2011, 23:15

zweiundvierzig

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Zählen (in diesem Kontext) können nicht linear abhängig sein.

Positiv nicht nur, sondern erstmal nichtnegativ. Was folgt nun also für $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert_2 + \Vert y \Vert_2 = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert_2, ~ \Vert y \Vert_2 \ge 0 \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2011, 23:22

schweizerkäse

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es soll ja folgen das x=y ist und das ist dann erfüllt, wenn beide 0 sind oder ?

25.04.2011, 23:28

zweiundvierzig

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Ja, das liefert dann den gewünschten Widerspruch.

25.04.2011, 23:40

schweizerkäse

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ok jetzt brauche ich nochmal hilfe, um das formal richtig aufzuschreiben

also:

z.z.: $\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) = 0 => x=y \end{eqnarray*}$

Bew.: durch Widerspruch

Ann.: es gibt lin. unabh.
$\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} d_{F}= ||x||_{2} ||y||_{2}=0<br /> <br /> => ||x||_{2} = - ||y||_{2} \end{eqnarray*}$

das ist aber ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} ||x||_{2} \end{eqnarray*}$ nicht negativ sein kann

=> x=y=0

25.04.2011, 23:51

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von schweizerkäse
z.z.: $\begin{eqnarray*} d_{F}(x,y) = 0 => x=y \end{eqnarray*}$

Bew.: durch Widerspruch

Das ist etwas knapp aufgeschrieben. Wir wollen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d_F(x,y) = 0 \implies x = y \end{eqnarray*}$ .

Hier brauchen wir jetzt noch eine Fallunterscheidung als zusätzliche Annahme, denn über diese Fallunterscheidung ist $\begin{eqnarray*} d_F \end{eqnarray*}$ ja definiert.
Sind $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann folgt $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ , wie wir schon festgestellt haben.

Nun bleibt noch der Fall, dass $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist. Die Aufgabe gibt ja schon vor, dass am Ende $\begin{eqnarray*} x = y \end{eqnarray*}$ herauskommen soll, das bedeutet wir ahnen schon, dass die Annahme der linearen unabhängigkeit, die insbes. $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ impliziert, einen Widerspruch zur Folge haben muss.

Zitat:

Original von schweizerkäse
Ann.: es gibt lin. unabh.
$\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} d_{F}= ||x||_{2} ||y||_{2}=0 \end{eqnarray*}$

Hier meinst Du wohl $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von schweizerkäse
=> ||x||_{2} = - ||y||_{2}[/latex]

das ist aber ein Widerspruch, da $\begin{eqnarray*} ||x||_{2} \end{eqnarray*}$ nicht negativ sein kann

=> x=y=0

Das ist nicht direkt ein Widerspruch. Die Gleichung an sich wird doch gelöst, nämlich von $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert_2 = \Vert y \Vert_2 \end{eqnarray*}$ = 0, also $\begin{eqnarray*} x = y = 0 \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Und hier tritt der Widerspruch auf, da unsere Annahme der linearen Unabhängigkeit $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ impliziert.

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