Verknüpfung zweier bijektiver Abbildungen

25.04.2011, 22:34	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfung zweier bijektiver Abbildungen Moin! Ich habe vor, dieses Wintersemester ein Mathematikstudium zu beginnen und wollte mich daher an ein paar Übungsaufgaben heranwagen, um zu schauen, wie gut ich damit klarkommen werde. Ich würde mich freuen, wenn ihr kurz über folgenden Beweis schaut und mir sagt, ob er formal so korrekt ist und was man dran verbessern könnte. Satz: Es seien $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \to V \end{eqnarray}$ bijektiv. Dann ist auch $\begin{eqnarray} g \circ f: X \to V \end{eqnarray}$ bijektiv und $\begin{eqnarray} (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ . Mein Beweis: Seien also $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \to V \end{eqnarray}$ bijektiv. Zu zeigen ist: (i) $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ ist injektiv, (ii) $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ ist surjektiv und es gilt (iii) $\begin{eqnarray} (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ . (i) Seien $\begin{eqnarray} a,b \in X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (g \circ f)(a) = (g \circ f)(b) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} a= \operatorname{id}_X(a) = (f^{-1} \circ f)(a) = (f^{-1} \circ \operatorname{id}_Y \circ f)(a) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \circ f)(a) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f))(a) = (f^{-1} \circ g^{-1})((g \circ f)(a)) = (f^{-1} \circ g^{-1})((g \circ f)(b)) = b \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ injektiv. (ii) Sei $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} v = \operatorname{id}_V(v) = (g \circ g^{-1})(v) = (g \circ \operatorname{id}_Y \circ g^{-1})(v) = (g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1})(v) = (g \circ f)(f^{-1}(g^{-1}(v))) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^{-1}(g^{-1}(v)) \in X \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ surjektiv. (iii) Da $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ bijektiv ist, existiert $\begin{eqnarray} (g \circ f)^{-1} \end{eqnarray}$ und es gilt $\begin{eqnarray} (g \circ f)^{-1} = \operatorname{id}_X \circ (g \circ f)^{-1} = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \circ f) \circ (g \circ f)^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) \circ (g \circ f)^{-1} = (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ \operatorname{id}_V = f^{-1} \circ g^{-1} \end{eqnarray}$ . Ist der Beweis eventuell in Teilen zu ausführlich oder in anderen zu knapp? Ich bin mir nie so ganz sicher, wie detailliert so ein Beweis aufzuschreiben ist. Danke fürs drüberschauen! MfG, Pavel
26.04.2011, 00:19	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus. Ibn Batuta
26.04.2011, 01:09	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich würde da jetzt schon etwas kritischer sein... Es gibt da eine gute und eine schlechte Nachricht... Die gute: Der Beweis ist formal korrekt und insbesondere in sauberem LaTeX geschrieben, was man nicht allzuoft sieht... Die schlechte: Er ist viel zu umständlich und wirkt insgesamt sehr "gekünstelt"... Zunächst solltest du dir klarmachen, dass gilt $\begin{eqnarray} h:U \to V \text{ ist bijektiv } \Leftrightarrow \exists h^{-1}:V \to U: \quad h^{-1} \circ h=id_U \land h \circ h^{-1}=id_V \end{eqnarray}$ denn diese Charakterisierung von bijektiven Abbildungen ist für sich genommen sehr wichtig und ich könnte mir vorstellen, dass sie dir bereits bekannt ist (zumindestens eine Richtung davon erwähnst du ja sogar in deinem Beweis)... Damit wird aber dann alles sehr einfach, denn es gilt $\begin{eqnarray} f: X \to Y, \ g:Y \to Z \text{ sind bijektiv } \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) =\ldots = id_X \land (g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) =\ldots = id_Z \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \circ f: X \to Z \text{ ist bijektiv und } (g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1} \end{eqnarray}$
26.04.2011, 12:53	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die beiden Antworten! @Mystic Natürlich geht das so viel einfacher! Der Satz war mir zwar bekannt, aber irgendwie hab ich immer nur die eine Richtung betrachtet, dass Bijektivität hinreichend für die Existenz einer Umkehrabbildung ist. Wenn man nun andersrum argumentiert und konkret zeigt, dass es eine Umkehrabbildung gibt, dann muss natürlich die Abbildung selbst bijektiv sein und die Frage nach der Beschaffenheit dieser Umkehrabbildung erledigt sich damit ja auch schon direkt. Danke nochmal! MfG, Pavel

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