Pyramidenvolumen über Ober und Untersumme zeigen

26.04.2011, 07:36	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenvolumen über Ober und Untersumme zeigen Hey, wir haben die Aufgabe, das Volumen einer Pyramide zu bestimmen. Genauer sollen wir die bekannte Volumenformel $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3} G H \end{eqnarray}$ beweisen. Dazu sollen wir Ober und Untersummen bilden. Zuerst mal die Obersumme: Sei G die Grundfläche und H die Gesamthöhe, sei $\begin{eqnarray} Z_n = (h_0, h_1, ... , h_n) \end{eqnarray}$ die Zerlegung der Höhe H mit $\begin{eqnarray} h_k = k * \frac{H}{n} \end{eqnarray}$ Jetzt möchte ich die ganzen Querschnitte welche Grundfläche meiner Obersummenquader werden, gerne Ausdrücken durch G und H. Sei also $\begin{eqnarray} A(h_k) \end{eqnarray}$ die Fläche des Querschnitts an der Zerlegungssstelle $\begin{eqnarray} h_k \end{eqnarray}$ Dann müsste ja laut Strahlensatz gelten: $\begin{eqnarray} \frac{G}{H} = \frac{A(h_k)}{h_k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A(h_k) = \frac{G}{H} * h_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A(h_k) = \frac{G}{H} * k * \frac{H}{n} \end{eqnarray}$ Die Obersumme setzt sich dann ja zusammen aus dieser Fläche $\begin{eqnarray} A(h_k) \end{eqnarray}$ multipliziert mit dem Abstand der Zerlegungen also $\begin{eqnarray} \frac{H}{n} \end{eqnarray}$ Also bilde ich die Summe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \frac{G}{H} * k * \frac{H}{n}\frac{H}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \frac{GHk}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GH\sum\limits_{k=0}^n \frac{k}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GH* \frac{\sum\limits_{k=0}^n k}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GH \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GH* \frac{n+1}{n2} \end{eqnarray}$ Das geht aber gegen 1/2 * G * H und ist irgendwie falsch. Wo mach ich den Fehler? Gruß Martin
26.04.2011, 09:50	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh, Strahlensatz war falsch.

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