Volumen einer 3D Landschaft |
| 26.04.2011, 08:38 | Tyler | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Volumen einer 3D Landschaft ich bin mir nicht ganz sicher ob das der richtig Bereich ist, wenn er falsch ist einfach verschieben. Zur Frage, ich möchte das Volumen einer 3D Landschaft bestimmen (Volumen über 0), ich habe diskrete höhenwerte sprich x,y,z Koordinaten. Bei 2D Punkten könnte ich ja einfach einen Algorithmus zur numerischen Integration nutzen, irgendwie sollte ich das mit 3D Punkten ja auch machen können aber ich hab dazu nicht wirklich etwas gefunden. Hat jemand einen Tip für einen entsprechenden Algorithmus? Vielen Danke, Tyler |
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| 26.04.2011, 09:47 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Am besten geht's wenn die Messpunkte an den Kreuzungspunkten von zwei Parallelenscharen liegen, wobei die Geraden jeder Schar gleiche Abstände zu den Nachbarn haben. Ein weiterer Vorteil wäre, wenn die beiden Scharen im rechten Winkel aufeinander stünden, aber ein anderer Winkel ist kein großes Hindernis. Anders gesprochen: Wenn z die abhängige Variable (also die "Höhe") ist, also wenn x und y die unabhängigen Variablen (also die "Input-Werte" der Funktion) sind, sollten die x- und y-Koordinaten deiner Punkte auf einem regelmäßigen Gitter liegen. Ein Spezialfall einer solchen Anordnung läge vor, wenn die x- und y-Koordinaten ganze Zahlen wären. Bei so einer Anordnung bilden die Fußpunkte (mit z=0) jeweils vier benachbarter Punkte ein Parallelogramm, das bei rechtwinkeligen Geradenscharen auch ein Rechteck, und im Fall gleicher Abstände sogar ein Quadrat sein kann. Dieses Parallelogramm zerschneidest du entlang einer der beiden Diagonalen in zwei Dreiecke. Nun bilden die drei Messpunkte gemeinsam mit den dazugehörigen Fußpunkten (mit z=0) ein dreiseitiges oben schräg abgeschnittenes Prisma, dessen Volumen du leicht berechnen kannst. Wenn du die Volumina aller Prismen berechnest und aufsummierst, erhältst du damit eine erste Näherung für das Volumen unter deiner Funktion. Noch einfacher gehts natürlich mit der nullten Näherung: Berechne die Grundfläche, die jeder Punkt repräsentiert (das ist die Fläche des oben beschriebenen Parallelogramms). Multipliziere die Höhe eines Punktes mit dieser Fläche, und du erhältst das Volumen eines ebenen Prismas. Summiere alle Volumina auf, und du erhältst die nullte Näherung für das Volumen unter deiner Funktion. Wenn ich mich nicht täusche sollte in diesem Fall die nullte Näherung sogar dasselbe Ergebnis bringen wie die erste. - Probiers an einem einfachen Beispiel aus. Natürlich kannst du auch mit der zweiten, dritten usw. Näherung rechnen, dazu musst du dann durch 9, 16 usw. Punkte eine Funktion zweiten, dritten, usw. Grades in x und y legen, und damit das Volumen bestimmen. Das bedeutet immer mehr Aufwand, aber nicht immer auch ein genaueres Ergebnis (meistens aber doch). Viele "Landschaften" enthalten irgendwo besonders steile Spitzen oder chaotisch anmutende Gebirge, während ringsum alles relativ flach ist. In diesem Fall zerschneidet man die Landschaft in mehrere Teilgebiete und ermittelt das Volumen unter den flachen Teilen mit einer großen Maschenweite (um Rechenzeit zu sparen), und wechselt bei den gebirgigen Teilen zu einer kleinen Maschenweite um dort die Genauigkeit zu erhöhen. |
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| 27.04.2011, 15:45 | Tyler | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, danke erstmal für die ausführliche Antwort, in die richtung habe ich auch schon gedacht, ich werde erstmal versuchen ob ich das umsetzen kann. LG Tyler |
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