regelmäßiges 5eck konstruieren (rein mathematisch) - Seite 2

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Die Wurzel aus 5 muss daher als erstes "adjungiert" werden...

Genau das meine ich, was ich nicht verstehe... Wieso muss genau diese Zahl adjungiert werden? Also an den Rechnungen sieht man das zwar, aber ich weiß nicht, was das Adjungieren mit der Diskriminanten zu tun hat.

Wenn die Dimension nichts mit dem erzeugten Körper (also der kleinste von Q und Wurzel(5) erzeugte Körper) zu tun hat, wieso habt ihr es denn dann berechnet?

Hast du noch ne Idee zur b) damit es für alle a gilt?

LG
Hamsterchen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Insgesamt haben wir hier 5 Lösungen für a. Eine ist a=1. Diese liegt nun aber schon in . In (a) haben wir gezeigt, dass die anderen 4 Möglichkeiten nicht in liegen. Mit diesem Fall für a wollen wir uns nun weiter beschäftigen.

Zitat:
(b) Polynom 2. Grades mit Koeffizienten aus , welches als Nullstelle hat.


Das haben wir mittels der Substitution doch ermittelt. Dabei kamen wir auf , wenn dir Polynome mit x besser gefallen also . Dieses quadr. Polynom ist irreduzibel über , und hat als Nullstelle, wie gefordert [siehe Rechenweg]. Es ist also das Minimalpolynom von über und die Körpererweiterung ist quadratisch.

Bevor wir nun weitermachen, sollten wir uns fragen, ob es für nicht noch eine bessere Darstellung gibt. Das führt uns darauf, dass gilt . Dies machen wir in der Hinsicht: Die Darstellung ist einfacher und am Ende sollen wir doch auch noch eine Konstruktion durchführen.

Wie sind wir auf die 5 gekommen? Dazu

Zitat:
Die erste war



und da war eben 5 die Diskriminante (rechne es bitte nach!)... Die Wurzel aus 5 muss daher als erstes "adjungiert" werden...


Schau dir die Lösungsformel an. Welche Bausteine haben wir in schon, was fehlt im Baukasten? Das muss adjungiert werden.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
Zitat:
Original von Mystic
Die Wurzel aus 5 muss daher als erstes "adjungiert" werden...

Genau das meine ich, was ich nicht verstehe... Wieso muss genau diese Zahl adjungiert werden? Also an den Rechnungen sieht man das zwar, aber ich weiß nicht, was das Adjungieren mit der Diskriminanten zu tun hat.

Du musst immer das Endziel vor Augen haben und das besteht darin, den kleinsten Körper zu konstruieren, der sowohl alle rationalen Zahlen, als auch eine Nullstelle von



enthält... Es wird sich dann später herausstellen, dass dieser Körper sogar alle Nullstellen dieses Polynoms enthält, d.h., dann sogar Zerfällungskörper dieses Polynoms ist, aber das ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, welche i.allg. nicht erfüllt sind...

Nun haben wir oben gesagt, dass unser Körper mit a auch u:=a+1/a enthält, wobei letzteres Element eine quadratische Gleichung, nämlich



erfüllen muss... Wegen



muss der gesuchte Körper dann auch automatisch enthalten... Ich hoffe, dass dies jetzt als Erklärung reicht...

Zitat:
Original von Hamsterchen
Wenn die Dimension nichts mit dem erzeugten Körper (also der kleinste von Q und Wurzel(5) erzeugte Körper) zu tun hat, wieso habt ihr es denn dann berechnet?

Naja, wie ich schon sagte, wir haben da auch ein paar Fleißaufgaben gemacht, aber es schadet ja auch nicht, oder? Augenzwinkern

Zitat:
Original von Hamsterchen
Hast du noch ne Idee zur b) damit es für alle a gilt?

Keine Ahnung, was du damit meinst...
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tigerbine,
danke für deine ausführliche Antwort. Aber ihr habt falsch verstanden, wo mein Problem liegt =)

Also zur b) Meine Frage: Wieso vernachlässigt ihr a=1? Das steht ja nicht in der Aufgabestellung. Wir sollen doch ein Polynom 2. Grades konstr., das ALLG. a+1/a als Nullstelle hat, also auch a=1, oder nicht????

zur Wurzel(5): Ich verstehe, was die Diskriminante ist und wie man sie berechnet und ich weiß auch, weshalb man Wurzel(5) adj. muss, ABER welchen Zusammenhang haben diese beiden Sachen.

LG
Hamsterchen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du Mystics Antwort gelesen?

Bei der (b) vermute ich "ungeschickte" Fragestellung. Man hatte sich ja in der (a) gerade die Fallunterscheidung erarbeitet. Zur Wurzel(5) haben wir nun eigentlich alles gesagt... verwirrt Mir ist auch nicht klar, was du mit "die beiden Sachen" meinst.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,
also das mit der a) kann sein, ich finde euren Weg auf jeden Fall sinnvoll.
Mit der Diskriminante das ist nicht so wichtig =) Wollte nur wissen, ob die Diskriminante =5 etwas mit der Wurzel(5) zu tun hat.

Auf jeden Fall danke nochmals an euch beide. Hab beim Lesen viel gelernt =)

LG
Hamsterchen
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
Mit der Diskriminante das ist nicht so wichtig =) Wollte nur wissen, ob die Diskriminante =5 etwas mit der Wurzel(5) zu tun hat.


Aber sicher hat sie das... traurig Wie sieht denn die Lösungsformel aus, das solltest du doch machen. Wo steht da die Diskriminante

Zitat:
Schau dir die Lösungsformel an. Welche Bausteine haben wir in schon, was fehlt im Baukasten? Das muss adjungiert werden.


Zitat:



erfüllen muss... Wegen



muss der gesuchte Körper dann auch automatisch enthalten... Ich hoffe, dass dies jetzt als Erklärung reicht...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@tigerbine

Man sieht wie gut es war, dass du dich am Anfang dazugeklinkt hast, sonst wäre die Diskussion hier wohl sehr unergiebig verlaufen... Augenzwinkern

Übrigens, wenn du glaubst, das hier voll verstanden zu haben, dann solltest dich mal (auf den Spuren von Gauß!) an der Formeldarstellung einer 17-ten Einheitswurzel versuchen... Das ist schon bißchen haariger, auch wenn es im Prinzip eigentlich genauso geht... Wink
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