Ähnlichkeit zeigen

26.04.2011, 14:55	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit zeigen Hallo zusammen! Ich habe mit folgenden Aufgaben Mühe: 1. Zeige, dass $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} a & b\\ c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ähnlich zur Matrix $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} d & c\\ b&a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . 2. Zeige, dass $\begin{eqnarray} C = \begin{pmatrix} a & b\\ c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ähnlich zur transponierten $\begin{eqnarray} C' \end{eqnarray}$ ist. Mein Ansatz: 1. Also, ich weiss, dass zwei Matrizen genau dann ähnlich sind, wenn sie bezgl. verschiedener Basen die gleiche lineare Abbildung beschreiben. Als Hinweis ist auch gegeben, dass ich zwei Basen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ wählen soll als $\begin{eqnarray} V = (v_1, v_2), W = (v_2, v_1) \end{eqnarray}$ und dann zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} \psi_V(f) = A, \psi_W(f) = B \end{eqnarray}$ . Aber wie kann ich das jetzt damit zeigen? 2. Ich könnte hier für ein $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} x&y\\z&t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , das invertierbar ist, also $\begin{eqnarray} det P\neq0 \end{eqnarray}$ , versuchen $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ zu bestimmen, aber die Rechenarbeit bringt mich auch nicht soo weit, ich erhalte wegen $\begin{eqnarray} C = PC'P^{-1}\Leftrightarrow CP = PC'\Leftrightarrow CP- PC' = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b(z-y)&(a-d)y+bt-cx\\cx+(d-a)z-bt&c(y-z)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 &0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also setze ich, damit das auch gilt mal $\begin{eqnarray} z=y \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&(a-d)y+bt-cx\\cx+(d-a)y-bt&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 &0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich gerne nach $\begin{eqnarray} x,t \end{eqnarray}$ auflösen, kriege das aber nicht hin, weil sich immer alles wegkreuzt. Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen kann! Vielen Dank schon mal und lieben Gruss
26.04.2011, 23:17	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeit zeigen Hallo schomi, Bei 1. hilft ein wenig scharfes Hingucken. Hier werden die Zeilen und die Spalten vertauscht. Matrixmultiplikation von links bedeutet Zeilenmanipulation, von rechts Spaltenmanipulation. Welche Matrix bewirkt die Vertauschung? Bei 2. bist Du doch schon auf einem guten Weg. Du kannst zwei der drei Variablen (fast) beliebig festlegen und löst die Gleichung dann nach der verbleibenden auf. Wahrscheinlich kommt dann noch eine Fallunterscheidung auf Dich zu, falls in der Matrix C Einträge Null sind. Gruß, Reksilat.
27.04.2011, 08:46	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Reksilat, 1. Hm, clever :-) Betrachte die Matrix $\begin{eqnarray} H =\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} H= H^{-1} \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} A =HBH^{-1} =HBH \end{eqnarray}$ und somit ist B ähnlich zu A. 2. Hm, irgendwie will das nicht so recht. Um es mir ganz einfach zu machen habe ich einfach mal $\begin{eqnarray} y=z=t\neq0 \end{eqnarray}$ gesetzt. Dann ist $\begin{eqnarray} x =\frac{(a-d+b)y}{c} \end{eqnarray}$ und das ganze geht auf. Aber damit muss $\begin{eqnarray} c\neq0 \end{eqnarray}$ gelten. Fall dies nicht der Fall ist, kann ich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beliebig wählen und $\begin{eqnarray} t = \frac{(d-a)}{b}y \end{eqnarray}$ , also muss $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ sein. Spinne ich den Gedanken weiter, resultieren folgende Fallunterscheidungen: 1. $\begin{eqnarray} c=0, b\neq0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y=z\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t = \frac{(d-a)}{b}y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ beliebig 2. $\begin{eqnarray} c\neq0, b = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y=z\neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x = \frac{(a-d)}{c}y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ beliebig 3. $\begin{eqnarray} c=0, b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y=z=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x,t \end{eqnarray}$ beliebig 4. $\begin{eqnarray} c\neq0, b\neq0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y=z=t\neq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x =\frac{(a-d+b)y}{c} \end{eqnarray}$ Das sollte jetzt alles klappen, ist aber eine ziemlich hässliche Lösung. Stimmt das so? Geht das nicht ein bisschen eleganter? Vielen Dank und Gruss
27.04.2011, 18:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das mit den vielen Fällen ist nicht sehr schön, aber mir fällt im Moment auch nichts anderes ein. Beim vierten Fall könnte noch a-d+b=c sein, dann ist y=z=t=x, was nicht sein darf. Das muss noch ausgeschlossen werden. Zum Beispiel lieber t=0 setzen. Auch das "beliebig" in den drei anderen Fällen hat noch ein paar Einschränkungen, da ja P invertierbar sein muss. Gruß, Reksilat.
27.04.2011, 19:11	schomi	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, vielen Dank! Ich schaue mir das demnach nochmals genau an. Schönen Abend und nochmals vielen Dank!

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