Polynomring

26.04.2011, 16:41

krateng

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Polynomring

Meine Frage:
Hallo erstmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bin Erstsemesterstudent der WiMa und eigentlich in Mathe ganz gut - aber wenn man mal in ner Lesung schläft bekommt man schon Probleme :F

Folgendes ist zu lösen:

Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ := {f $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ | f (x) $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ } ist ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie man einen Untervektorraum definiert weiß ich - nur hab ich leider ein riesiges Problem mit diesen Polynomringen... was heißt diese Notation? Soll dieses f(x) schon eine Funktion sein? Anscheinend ist es ja das allgemein definierte Polynom $\begin{eqnarray*} a_{1} x^{1} +a_{2} x^{2} .... \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich da auch nur anfangen irgendwas zu rechnen?

Ich weiß, klingt jetzt vermutlich so als sollt ich besser was anderes studieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wäre aber sehr dankbar wenn mir jemand das erklären könnte bzw die Aufgabe vorrechnen, dann schaff ich die zweite vielleicht alleine...

26.04.2011, 16:48

Mulder

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RE: Polynomring
U1 besteht einfach aus allen Polynomen, die nirgendwo negativ werden. Egal, was man für x einsetzt, f(x) bleibt nichtnegativ. Ein Beispiel wäre g(x)=x². Ein Beispiel, das nicht drin liegt, wäre f(x)=x, denn für x<0 wird dann ja auch sofort f(x)<0.

26.04.2011, 16:58

krateng

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Ahso. Danke erstmal. Das heißt, es ist die Menge aller Polynome, für die das gilt? Aber ein Polynom ist ja nicht nur y=x², sondern auch y=x²+3x³+... usw., oder? Sind das dann nicht unfassbar viele Polynome? Big Laugh

Big Laugh

Und ich versteh den Zusammenhang von Polynomring oder Polynommenge und Vektorraum ehrlich gesagt nicht so ganz...

26.04.2011, 17:01

Mulder

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Zitat:

Original von krateng
Das heißt, es ist die Menge aller Polynome, für die das gilt? Aber ein Polynom ist ja nicht nur y=x², sondern auch y=x²+3x³+... usw., oder? Sind das dann nicht unfassbar viele Polynome? Big Laugh

Big Laugh

Es sind unendlich viele Polynome in U1, ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber: y=x²+3x^3 liegt zum Beispiel nicht mehr drin, denn schon für x=-1 ergibt sich da ja der Funktionswert y(1)=1²+3*(-1)=-2. Also liegt das nicht mehr in U1 drin. Es geht aber auch nicht darum, aufzuschreiben, was nun alles in U1 drinliegt.

Du sollst checken, ob U1 ein Untervektorraum ist. Da sind nur ein paar Kriterien zu prüfen, die in deinen Unterlagen auf jeden Fall zu finden sein sollten (ansonsten google ein bisschen, Wikipedia ist da auch ganz brauchbar).

26.04.2011, 17:08

krateng

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Joa, die Kriterien kenn ich. Aber wie gesagt, der Zusammenhang Polynomring - Vektorraum ist mir nicht klar. Ein Polynom ist doch kein Vektor - oder soll das Polynom jetzt irgendwie sozusagen die Normalform einer Ebene mit den Vektoren sein (halt jetzt auf den dreidimensionalen Raum bezogen)...?

26.04.2011, 17:11

Mulder

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Zitat:

Original von krateng
Ein Polynom ist doch kein Vektor

Doch, in diesem Fall ist ein Polynom eben sehr wohl ein Vektor! Löse dich da ein bisschen von den Begriffen aus der Schule. In der Schule nennt man ja immer nur sowas wie

$\begin{eqnarray*} \vec x = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einen Vektor. Aber hier wird dieser Begriff anders eingesetzt. Die Elemente eines Vektorraums nennt man Vektor, das können Zahlen sein, Polynome, Matrizen oder weiß der Geier was noch. Natürlich kann man zum Beispiel auch den Vektorraum R³ betrachten, dann sind die Vektoren tatsächlich wieder das, was man aus der Schule gewohnt ist. Aber es gibt eben auch ganz andere Vektorräume. Lass dich da jetzt nicht von den Begriffen verrückt machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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26.04.2011, 17:14

krateng

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Zu hülf!

Big Laugh

Dann kann ich aber doch immer noch keinen Beweis führen. Ich müsste ja zB zeigen, dass die Addition zweier Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ liegt oder eben nicht... und da hab ich keinen Schimmer wo ich da ansetzen soll...

Tut mir leid für die vielen elementaren Fragen und dass ich deine Zeit hier verschwende Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke schonmal für das bisherige, ich blick schon mehr als vorher^^

26.04.2011, 17:16

Mulder

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Zitat:

Original von krateng
Ich müsste ja zB zeigen, dass die Addition zweier Vektoren aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ wieder in $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ liegt oder eben nicht...

Ganz genau. Schauen wir doch mal. Wir nehmen uns zwei beliebige Polynom f und g aus U1. Dann wissen wir, weil f und g in U1 liegen:

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \text{ und } g(x) \geq 0 \ \ \forall x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Was kannst du nun über $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ sagen?

26.04.2011, 17:27

krateng

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Ach so simpel geht das?

Hääää... aber irgendwie is das doch nich logisch? ^^
Oh mann... hat man überhaupt eine Chance sich das vorzustellen oder zu verbildlichen? Oder muss man da einfach streng nach Schema F rechnen?

Also geht das immer so in der Art?
Hm. Ich probiers jetzt einfach mal mit beiden Aufgaben durch - bis hierhin nochmals Gott

Gott

Gott

HERZLICHSTEN dank für deine mühen Augenzwinkern

Augenzwinkern

vermutlich meld ich mich bald wieder weil ichs doch nicht schaff^^

26.04.2011, 17:47

krateng

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ok, falls du noch da bist:

die zweite teilaufgabe ist analog, nur mit der vorgabe dass f(x)=f(-x)

das heißt ja, es sind nur polynome, die komplett aus potenzen mit geraden exponenten bestehen, stimmt das soweit?

und solche miteinander addiert sind ja wiederum polynome aus potenzen mit geraden exponenten

aber wie soll ich das mathematisch beweisen?

26.04.2011, 17:48

Mulder

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Wie weit bist du denn beim ersten gekommen? Ist U1 ein Untervektorraum oder nicht?

26.04.2011, 17:50

krateng

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Ich würd sagen nicht, da die Skalarmultiplikation nicht für jeden Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ funktioniert (zB -1).

26.04.2011, 17:52

Mulder

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Zitat:

Original von krateng
Ich würd sagen nicht, da die Skalarmultiplikation nicht für jeden Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ funktioniert (zB -1).

Okay.

Freude

Versuch doch beim zweiten Fall, das einfach mal selbst zu probieren. Du musst das selbst üben. Es läuft wieder darauf hinaus, dass du dir zwei Vektoren aus U2 nimmst (im Beispiel der Addition).

26.04.2011, 18:01

krateng

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ich kann aber nur selbst üben wenn ich vorher anleitung hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

naja, wie gesagt, intuitiv muss das logischerweise stimmen. aber mir fällt kein weg ein, das mathematisch zu beweisen...

f(x)=f(-x)
g(x)=g(-x)

mit

$\begin{eqnarray*} g, f \in U_{2} \end{eqnarray*}$

zu beweisen: f+g (x) = f + g (-x)
f+g (x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = f+g (-x)

aber das kommt mir jetzt doch zu banal vor^^ q.e.d.?

EDIT: sry, element von U2 meint ich^^

26.04.2011, 18:07

Mulder

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Um das formal zu beweisen, würde ich zur Summenschreibweise übergehen. Seien f,g aus U2 (ich nenne das jetzt mal so, ich weiß nicht, ob das in deiner Aufgabe auch so heißt). Dann: f(x)=f(-x) und g(x)=g(-x). Also (das mit den geraden Exponenten stimmt):

$\begin{eqnarray*} f = \sum_{k=0}^\infty a_k \, x^{2k} \ \ , \ \ g = \sum_{k=0}^\infty b_k \, x^{2k} \end{eqnarray*}$

So kommen nur gerade Exponenten vor. Und dann eben die Summe von f und g mal explizit hinschreiben.

26.04.2011, 18:11

krateng

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das heißt, ich darf das mit den geraden exponenten einfach so annehmen, weils ,,logisch ist"?

okay, dann passts ja!

ich hoff jetzt mal dass keine weiteren probleme auftauchen^^ und ein weiteres mal Gott

Gott

vielen dank Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich kann dir zum dank wenig bieten, aber solltest du jemals als direktkandidat für den bundestag kandidieren, meine stimme hast du Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 18:14

Mulder

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Zitat:

Original von krateng
das heißt, ich darf das mit den geraden exponenten einfach so annehmen [...]

Das würde ich wohl sagen, das ist ja eigentlich klar. Das mit der Achsensymmetrie ist ja eigentlich auch Schulstoff. Es kommt halt dann nur darauf an, es sauber hinzuschreiben.

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