Produkt - sigma - Algebra

26.04.2011, 16:52

Gast11022013

Produkt - sigma - Algebra

Meine Frage:
Hallo, liebe Matheboardler!

Leider will in meinen Kopf einfach nicht hinein, was eine Produkt- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra ist bzw. wie man diese bildet.

Ich habe versucht, das an dem Wikipedia-Beispiel nachzuvollziehen, habe es aber nicht verstanden. Daher werde ich Euch erst meine Definition geben und dann das Beispiel; dann könnt Ihr mir vielleicht erklären, wie ich die Dinge aus der Definition hier wiederfinde?

Zitat:

1.Definition

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ein kartesisches Produkt von Mengen $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \Omega=\prod_{i\in I} E_i \end{eqnarray*}$ für eine Indexmenge $\begin{eqnarray*} I\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_i:\Omega\to E_i \end{eqnarray*}$ die Projektion auf die i-te Koordinate, und $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{X_{i}^{-1}A_i: i\in I, A_i\in \mathcal{E}_i\right\} \end{eqnarray*}$ das System aller Mengen in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die durch ein Ereignis in einer einzelnen Koordinate bestimmt sind. Dann heißt $\begin{eqnarray*} \otimes_{i\in I} \mathcal{E}_i:=\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ die Produkt - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra der $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

[aus: "Stochastik", Georgii, S. 12]

2. Beispiel

$\begin{eqnarray*} (E_1,\mathcal{E}_1)=(\left\{K,Z\right\},\left\{\emptyset,\left\{K\right\},\left\{Z\right\},\left\{K,Z\right\}\right\}) \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} (E_2,\mathcal{E}_2)=(\left\{a,b\right\},\left\{\emptyset,\left\{a,b\right\}\right\}) \end{eqnarray*}$

Dann ist die zugehörige Produkt - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra:

$\begin{eqnarray*} \otimes_{i=1}^{2} \mathcal{E}_i=\left\{\emptyset,\left\{(K,a),(K,b)\right\},\left\{(Z,a),(Z,b)\right\},\left\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Kann mir bitte jemand an diesem Beispiel erklären, wie man auf das Ergebnis kommt und was hier die Projektionen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und das Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ sind?

Vielleicht verstehe ich dann das grundsätzliche Konzept einer Produkt - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra.

Meine Ideen:

Also $\begin{eqnarray*} \Omega=E_1\times E_2=\left\{K,Z\right\}\times \left\{a,b\right\}=\left\{(K,a),(K,b),(Z,a),(Z,b)\right\} \end{eqnarray*}$ , das ist mir noch klar.

Und nun sucht man alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , deren Elemente ihre erste Komponente in $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_1 \end{eqnarray*}$ und ihre zweite Komponente in $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_2 \end{eqnarray*}$ haben?

Gilt eigentlich beispielsweise: $\begin{eqnarray*} \left\{K\right\}\times \left\{a,b\right\}=\left\{(K,a),(K,b)\right\} \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2011, 10:30

tejubin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dennis2010!

Mir geht es da genauso wie Dir! Ich würde mich auch über eine "Aufklärung" freuen.

Gruß Tej

04.05.2011, 00:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Produkt - sigma - Algebra
Ich freue mich, dass ich mit diesem Problem nicht alleine dastehe.

Vielleicht findet sich ja ein mutiger User, der uns beiden eine verständliche Erklärung geben kann. Augenzwinkern

04.05.2011, 08:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente von einem Produkt von Teilmengen stellt man sich oft als "Vektoren" mit den passenden Einträgen vor - auch wenn das natürlich keine Vektoren sind [zb allein schon wenn $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist].

Im Fall deiner Definition wäre das also ein Element $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ ein "Vektor"
$\begin{eqnarray*} \omega=(e_1,e_2,e_3,....) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} e_i\in E_i \end{eqnarray*}$ .
Nochmals: Glaube nicht dass ein Element tatsächlich immer so aussieht, aber für die Vorstellung ist das OK - ausserdem stimmt die Vorstellung dann falls $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ endlich oder nur abzählbar unendlich ist.

Die i-te Projektionen ist dann eine Abbildungen die den "Vektor" nimmt und als Wert den i-ten Eintrag liefert:
$\begin{eqnarray*} X_i: \Omega\to E_i \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} (e_i)_{i\in I}\mapsto e_i \end{eqnarray*}$ .

In deinem Beispiel etwa $\begin{eqnarray*} X_1: \Omega\to E_1 \end{eqnarray*}$ und zb $\begin{eqnarray*} X_1((K,a))=K \end{eqnarray*}$ .

Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal G \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Urbilder von messbaren Mengen [was letztlich der Grund dafür ist, dass die Projektionen alle messbar sind].

Zb ist $\begin{eqnarray*} \{K\}\in\mathcal E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_1^{-1}(\{K\}) \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Elemente von $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ der Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} X_1(B_1)=\{K\} \end{eqnarray*}$ .
Konkret ist:
$\begin{eqnarray*} B_1=\{K\}\times E_2=\{(K,a),(K,b)\} \end{eqnarray*}$ .

Das liefert also eine riesige Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal G \end{eqnarray*}$ , aber im Allgemeinen eben bloss eine Menge. Um dann eine Sigma-Algebra zu kriegen, nimmt man einfach $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal G) \end{eqnarray*}$ , also die kleinste Sigma-Algebra die $\begin{eqnarray*} \mathcal G \end{eqnarray*}$ umfasst.

Das heisst um die Produkt-Sigma-Algebra in deinem Beispiel konkret zu finden musst du zuerst alle die Urbilder der Mengen von $\begin{eqnarray*} \mathcal E_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal E_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann die kleinste Sigma-Algebra bilden die noch diese Mengen umfasst.
Ich glaube das ist ziemlich mühsam...

04.05.2011, 18:04

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesehr, ich glaube, Deine Erklärung hat mir das Thema entschieden näher gebracht!

Neue Frage »

Antworten »

Produkt - sigma - Algebra

Verwandte Themen