Bestimmung der Asymptoten und Grenzwerte bei gebrochen - rationale Funktionen

26.04.2011, 16:56

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimmung der Asymptoten und Grenzwerte bei gebrochen - rationale Funktionen

Meine Frage:
Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} y=f(x)=\frac{8x+16}{x^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x\in R;x\neq 0) \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe war es die Funktion auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie Extrempunkte zu untersuchen und sie gegebenenfalls zu berechnen.
Ebenfalls soll das Verhalten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\Rightarrow +/- \infty \end{eqnarray*}$ untersucht werden und für den Intervall $\begin{eqnarray*} -8\leq x \leq 8 \end{eqnarray*}$ eine Skizze angefertigt werden.

Meine Ideen:
Ich konnte folgendes berechnen:

Schnittpunkt mit der x-Achse: $\begin{eqnarray*} Sx (-2;0) \end{eqnarray*}$
Schnittpunkt mit der y-Achse: exestiert nicht da angegben war $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
Tiefpunkt: $\begin{eqnarray*} T(4;3) \end{eqnarray*}$
Wendepunkt: $\begin{eqnarray*} W (2;8) \end{eqnarray*}$

Mein Problem besteht darin das ich Mathe nicht vollkommen beherrsche und deshalb nicht weiß wie ich das Verhalten also den Grenzwert und die Asymptoten bestimme.

Wenn jmd. antworte sollte es bitte so sein das der Lösungsweg ausführlich geschildert ist, das beugt möglichen Verständnisproblemen vor.

Danke

26.04.2011, 17:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Weder Tief- noch Wendepunkt stimmen. Kannst du mir mal deine Ableitungen zeigen?

Einen Lösungsweg selbst gibt es nicht. Nicht von mir. Den bringst du und ich motze,
wenn mir was nicht gefällt Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 17:43

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die verlangten Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{8x+16}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-8x^2+32x}{x^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{48x^5-96x^4}{x^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{-48x^{10}+192x^9}{x^8} \end{eqnarray*}$

***Achtung*** Bei der Skizze musste ich $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{8x}{x^2} +\frac{16}{x^2} \end{eqnarray*}$ eingeben da das Programm nicht die Pollstelle erkennt.

26.04.2011, 17:47

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Ableitung sieht gut aus. Du kannst allerdings kürzen, was auch unbedingt
zu empfehlen ist!

Die beiden weiteren Ableitungen stimmen nicht.

Probiers nochmals. Gerne mit Rechenweg Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 17:47

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke

smile

bis gleich

26.04.2011, 18:05

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja keine Leuchte deswegen habe ich den Lösungsweg für die 2. Ableitung mal ausführlich gemacht:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(-16x+32)*x^4-(-8x^2+32x)*4x^3}{x^{(4)2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-16x^5+32x^4-(-32x^5+128x^4)}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-16x^5+32x^4+32x^5-128x^4}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{16x^5-96x^4}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

Hoffe das stimmt jetzt! :-/

Anzeige

26.04.2011, 18:15

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest noch einen Fehler in der ersten Ableitung. Den hatte ich übersehen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-8x-32}{x^3} \end{eqnarray*}$

Also das Vorzeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deins ist nun fast richtig. Einmal der von mir übersehene Vorzeichenfehler.
Es ergibt sich dann bei dir $\begin{eqnarray*} \frac{16x^5+96x^4}{x^6} \end{eqnarray*}$

Wenn du mir noch eine ganz dezente Frage erlaubst Big Laugh

Big Laugh

: 4*2=?
Will heißen: Der Exponent deines Nenners ist falsch.

Vergiss nicht zu kürzen!

26.04.2011, 18:21

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Fanrich
Ich bin ja keine Leuchte deswegen habe ich den Lösungsweg für die 2. Ableitung mal ausführlich gemacht:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{(-16x+32)*x^4-(-8x^2+32x)*4x^3}{x^{(4)2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-16x^5+32x^4-(-32x^5+128x^4)}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-16x^5+32x^4+32x^5-128x^4}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{16x^5-96x^4}{x^{6}} \end{eqnarray*}$

Hoffe das stimmt jetzt! :-/

P.S. 3. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{-16x^{10}+192x^{9}}{x^{8}} \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 18:25

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Du hattest noch einen Fehler in der ersten Ableitung. Den hatte ich übersehen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-8x-32}{x^3} \end{eqnarray*}$

Also das Vorzeichen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Deins ist nun fast richtig. Einmal der von mir übersehene Vorzeichenfehler.
Es ergibt sich dann bei dir $\begin{eqnarray*} \frac{16x^5+96x^4}{x^6} \end{eqnarray*}$

Wenn du mir noch eine ganz dezente Frage erlaubst Big Laugh

Big Laugh

: 4*2=?
Will heißen: Der Exponent deines Nenners ist falsch.

Vergiss nicht zu kürzen!

Achso ok danke und ich dachte Exponenten werden in dieser Situation $\begin{eqnarray*} x^{(2)2} \end{eqnarray*}$ addiert und nicht multipliziert. :P

26.04.2011, 18:35

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein

Augenzwinkern

Multipliziert. Ist ja ne normale Klammer.

Also unsere zweite Ableitung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{16x^5+96x^4}{x^8}=\frac{16x+96}{x^4} \end{eqnarray*}$

Mit dieser arbeite mal weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 18:45

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt noch einmal die Extrempunkte untersucht.
Dabei ist mir aufgefallen das das anfangs als Tiefpunkt erkannte Extrema keiner ist, sondern es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.

Hochpunkt: $\begin{eqnarray*} H (4;3) \end{eqnarray*}$
Wendepunkt: $\begin{eqnarray*} W (6;1,78) \end{eqnarray*}$

Entschuldigung kann sein das es falsch ist, da ich das mit den anderen Ableitungen errechnet habe, es ist sogar sehr wahrscheinlich.

P.S.

Das Potzengesetz $\begin{eqnarray*} x^{(m)n} = x^{m*n} \end{eqnarray*}$ danke

26.04.2011, 18:47

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Es handelt sich durchaus um einen Tiefpunkt. Das war richtig (siehe Schaubild)
Einen endlichen Hochpunkt gibts nicht.

Die Ableitung war:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-8x-32}{x^3} \end{eqnarray*}$

f'(x)=0 ist gesucht. Also schau dir den Zähler an.

Der Wendepunkt ist weiterhin falsch.
Aber dafür brauchen wir ohnehin erst mal die dritte Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 19:13

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

So jetzt hab ich es.

da $\begin{eqnarray*} f''(-4)= 0,125 >0 \end{eqnarray*}$ schlussfolgere Ich das $\begin{eqnarray*} f'(-4)=0 \end{eqnarray*}$ ein lokales Minima ist somit folgt:

Tiefpunkt: $\begin{eqnarray*} T (-4;-1) \end{eqnarray*}$

3.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{-48x-384}{x5} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} f'''(-6)\neq0 \end{eqnarray*}$ ist heißt das $\begin{eqnarray*} f''(-6)=0 \end{eqnarray*}$ eine Wendestelle ist.

Wendepunkt: $\begin{eqnarray*} W (-6;-0,89) \end{eqnarray*}$

das muss jetzt einfach stimmen. :P

26.04.2011, 19:15

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du sagst, dass es muss, dann kann ich ja wohl nix mehr sagen ^^

Die Ergebnisse stimmen nun.

Die Asymptote ist einfach. Zählergrad<Nennergrad -> bedeutet?

26.04.2011, 19:20

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Zählergrad und Nennergrad geben an wie hoch der höchste Exponent im Zähler bzw. Nenner ist.

Ist der Zählergrad < Nennergrad heißt dass das sich die Asymptote gegen 0 bewegt aber niemals erreicht, oder?

26.04.2011, 19:22

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau

Freude

Die Asymptote ist als y=0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Bin mal kurz essen)

26.04.2011, 19:34

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt weiß ich zwar das die Asymptote sich null annähert, aber weiß dennoch nicht wie ich den Grenzwert bestimme. Oder ist das etwa beides das selbe?

Weiterhin ist auf dem AB aus dem ich die Aufgabe genommen habe die rede davon das es zwei Asymptoten gibt.

Ich weiß das es einmal waagerechte und senkrechte Asymptoten gibt aber habe keine Ahnung wie ich mich bei diesem Sachverhalt zu verhalten habe.

Jedoch glaube ich das es sich bei einer senkrechten Asymptote um den Grenzwert handelt, da ich das schon oft im Zusammenhang mit Wertebereich gehört habe.

26.04.2011, 19:39

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo "könnten" wir denn eine senkrechte Asymptote haben? Ich hatte das jetzt vorausgesetzt Ups

Ups

Der Grenzwert...auf beiden Seiten...ist natürlich 0. Wie du erkannt hast, zeigt
dir das die waagrechte Asymptote Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 19:45

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Die senkrecht Asymptote ist meiner Meinung nach die y - Achse mit x = 0 da sich der Graph von - $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kommend immer weiter Richtung x=0 bewegt ihn aber nie erreicht, analog dazu ist der Graph nach der Polstelle er wandert vom "Grenzwert" x=0 richtung + $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 19:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig.
An jeder Polstelle (also an jeder (nicht hebbaren) Definitionslücke) hast du eine
senkrechte Asymptote Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 21:36

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sollte es anders sein gesellt sich ein neues Problem hinzu.

Eine Gerade g und der Graph von f verlaufen durch die Punkte A(-2;0) und Q (-4;-1).
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden!
Die Gerade g und der Graph von f haben einen dritten Punkt S gemeinsam. Berechnen Sie dessen Koordinaten!

Leider weiß ich in keinster weiße hier vor zu gehen.

26.04.2011, 21:38

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Geradengleichung brauchst du die Zweipunkteform. Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 22:07

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann mir zwar die Geradengleichung zusammen reimen ( $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}x-1 \end{eqnarray*}$ ) aber net wie ich den Punkt S ausrechne.

Sorry steh vllt. auf dem Schlauch aber ich kann mir echt nicht weiter helfen.
Ich verstehe es nicht.

26.04.2011, 22:11

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steigung ist richtig.
y=mx+b

m ist bekannt. Setze nun einen Punkt ein und erhalte b.
Hast du wohl gemacht? Aber falsch. b=1 und nicht -1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 22:44

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo ^^ hab aber immer noch das Problem mit dem Punkt S.
Probiere die Ganze Zeit aber ich schaffe es nicht. :-/

26.04.2011, 22:45

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch nun die Gerade g(x).
Und die Funktion f(x).

Setze sie nun gleich Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 22:49

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das mache ich die ganze Zeit, gleichsetzten.
Ich komme immer auf so eine ganzrationale Funktion 3. Grade bzw. kubische Funktion und ab da komm ich einfach nicht weiter. Da beißt sich der Hund den Schwanz.

kurz zigarette smile

smile

26.04.2011, 22:53

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann zeig doch mal her Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zigaretten sind verboten! :P

26.04.2011, 22:56

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{2}x^3+x^2-8x-16 \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 23:00

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja passt doch soweit.
Nun kennst du schon ne Nullstelle, oder nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 23:03

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2}x+1<br /> <br /> f(x)=\frac{8x+16}{x^2} <br /> <br /> \frac{8x+16}{x^2}=\frac{1}{2}x+1 /*x^2<br /> <br /> 8x+16=\frac{1}{2}x^3+x^2<br /> <br /> 0=\frac{1}{2}x^3+x^2-8x-16 \end{eqnarray*}$

Ich weiß da net mehr wie ich weiter machen kann

26.04.2011, 23:05

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Oder war das auf meinen Edit bezogen? Das war ein Fehler meinerseits den ich (so
dachte ich) gleich korrigierte Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 23:05

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo war auf dein edit bezogen ^^ dennoch hab ich kein Plan wie ich da weiter mache

26.04.2011, 23:08

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben: $\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{2}x^3+x^2-8x-16 \end{eqnarray*}$

Wir wissen: Nullstelle bei x=-2 und x=-4

Wir können nun eine Polynomdivision machen. Mit einer der beiden Nullstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.04.2011, 23:12

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar was ne Polynomdivision ist verstehe aber deine Intention mit den Nullstellen nicht? UNd wir haben nur eine Nullstelle -4 ist doch nen Tiefpunkt

26.04.2011, 23:15

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch eine Gerade. Wir haben diese gebildet durch zwei Schnittpunkte mit
der Funktion f. Wir wollen nun den dritten Schnittpunkt finden.
Wir haben die Gerade mit der Funktion gleichgesetzt. Damit vereinfacht sich
das Problem zu einem Nullstellenproblem -> zwei Nullstellen oder eben Schnittpunkte
sind bekannt. Mit diesen kannst du nun eine Polynomdivision durchführen und den
letzten Schnittpunkt (Nullstelle) finden.

26.04.2011, 23:20

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok es ist so weit ich bin absolut verwirrt. Hammer

Hammer

Kannst du vllt. mal schreiben wie du das meinst?

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}x^3+x^2-8x-16) : (-2) = \end{eqnarray*}$ oder wie meinst du das?

26.04.2011, 23:21

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Haben dir meine 6 Zeilen nicht gereicht? Big Laugh

Big Laugh

Das ist geschriebenes :P

Lies es nochmals genau durch. Frag dann gezielt (wenn möglich).

26.04.2011, 23:24

Fanrich

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch mal nen edit gemacht oben

ok ich glaub ich weiß jetzt was du meinst ich schreibs glei rein

26.04.2011, 23:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast.

-2 ist die Nullstelle. Du kannst also eine Linearkombination schreiben (Das ist dir
ein Begriff?)

Ein Faktor lautet demnach (x+2), denn für x=-2 -> -2+2=0

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}x^3+x^2-8x-16) : (x+2) = \end{eqnarray*}$

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »