Binomische Formeln

26.04.2011, 19:11

Kuni91

Binomische Formeln

Guten Abend ihr Allwissenden,
Ich bin heute bei meinen Übungen auf eine Aufgabe gestoßen, die mich etwas stutzig machte:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k³+3k²+3k+1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(k+1)³}{2^k} \end{eqnarray*}$
Wie kommt das zu stande?

Offensichtlich wird hier in die binomische Formel umgeformt, allerdings erschließt sich mir hier nicht der Vorgang an sich. Ich dachte immer die 1.bino. Formel würde anders Aussehen, nämlich in diesem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k³+3k²+3k²+1}{2^k} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(k+1)³}{2^k} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich aber bei der eigentlichen Aufgaube auf die binomische Formel? Quadratische Ergänzung kann es doch nicht sein, oder? Da würde doch hier ein Subtrahend fehlen, oder nicht?

26.04.2011, 19:17

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Das ist auch,

$\begin{eqnarray*} (a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b) \end{eqnarray*}$

multiplizier das einmal aus. smile

26.04.2011, 19:31

Kuni91

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Aber, wie kann denn das sein? Das sind doch 2 vollkommen unterschiedliche Ergebnisse. Setze ich Beispielsweise für k = 2 ein, dann bekomme ich bei meiner binomischen Formel 33 raus. Setze ich in die andere "Pseudo-binomische Formel" die 2 ein, bekomme ich 27 raus. Das kann ich mir irgendwie nicht so recht erklären.

26.04.2011, 19:35

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
$\begin{eqnarray*} (2+1)^3=27 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 2^3+3*2^2+3*2+1=27 \end{eqnarray*}$

Kennst du den binomischen Lehrsatz?

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \end{eqnarray*}$

Die binomische Formel ist nur ein Sonderfall des Lehrsatzes. smile

26.04.2011, 19:54

Kuni91

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Ja, genau und bei $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (k+1)³ = k³+3k²+3k²+1 = 33 \end{eqnarray*}$

oder hab ich mich verrechnet?

26.04.2011, 19:55

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Du solltest nochmal nachrechnen. Augenzwinkern

26.04.2011, 20:09

Kuni91

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Ich habs jetzt mehrmals Nachgerechnet und jedes mal kommt das gleiche raus.
Bei der "echten" binomischen Formel:
$\begin{eqnarray*} (k+1)³ = k³+3k²+3k²+1 = 33 \end{eqnarray*}$

und bei der anderen:
$\begin{eqnarray*} (k+1)³ = k³+3k²+3k+1 = 27 \end{eqnarray*}$

bei beiden ist $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$

Könntest du mich bitte auf meinen Fehler werfen, damit ich Ihn finde? verwirrt

26.04.2011, 20:11

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
$\begin{eqnarray*} (2+1)^3=3^3=27 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^3+3*2^2+3*2+1=27 \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 20:29

Kuni91

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Danke, aber das ist doch genau das, was ich geschrieben habe.
Warum ist
$\begin{eqnarray*} 27 = 2³+3*2²+3*2+1 = (2-1)(2-1)(2-1) = (2-1)³ = 2³+3*2²+3*2²+1 = 33 \end{eqnarray*}$
Da beißt sich die Katze doch selbst in den Schwanz.

26.04.2011, 20:31

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln
Nim dir am besten einen Taschenrechner. geschockt

26.04.2011, 20:35

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Formeln

Zitat:

Original von Kuni91
Bei der "echten" binomischen Formel:
$\begin{eqnarray*} (k+1)³ = k³+3k²+3k²+1 = 33 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich kurz einmischen darf. Der Hund liegt hier begraben.

@Kuni: Du wendest das pascalsche Dreieck falsch an! Warum hast du zweimal 3k²?

Einmal lautet es 3k² einmal 3k1²=3k Augenzwinkern

Der Fehler ist bei dir immer in dieser Weise zu finden.

Dein letzter Post stimmt in den Gleichheitszeichen deshalb auch nicht.

Siehe auch hier: $\begin{eqnarray*} (a+b)^3=a³+3a²b+3ab²+b³ \end{eqnarray*}$

26.04.2011, 21:08

Kuni91

Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, jetzt weiß ichs! Vielen Dank euch beiden! Gott

Ich hab echt keine Ahnung, wieso ich dachte, dass da zwei mal ² hingehört. Macht absolut keinen Sinn.

Vielen Dank nochmal für eure Hilfe, ist echt ein super Forum. Freude

26.04.2011, 21:16

Cheftheoretiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen! Wink

Neue Frage »

Antworten »

Binomische Formeln

Verwandte Themen