Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide

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msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
Meine Frage:
Hallo

Bin schon seit ner Weile am Rechenweg zum Schwerpunkt einer geraden, quadratischen Pyramide.
Dass der SP 1/4h über dem Lotfusspunkt ist, weiss ich. Mir gehts hier um den Rechenweg.
Ich habe ihn nun schon über einige Varianten versucht auszurechnen, bekomme aber eben nicht ein viertel.

Ich seh den Fehler (welcher ich offenbar mache) nicht...

Meine Ideen:
Die zwei meistversprechenden Varianten:

Zu Beginn:
Ich wählte das Koordinatensystem so, dass Origo im Lotfusspunkt liegt (siehe Bild). Dann nahm ich ein Dreieck heraus, um eine Funktion der Grundfläche in Abhängigkeit der Höhe zu bekommen:


Weg 1 über Intergral:



Dann müsste gelten. Also:



Da bekomm ich kein vernünftiges Resultat über. Im Übrigen ist die Aussage sowieso falsch, da ich für nicht 1/6 bekomme.

Weg 2 mit Teilpyramide überhalb SP

Wenn die Pyramide durch den SP senkrecht abgeschnitten wird, sollte die kleinere Pyramide und der übriggebliebene Pyramidenstumpf das gleiche Volumen haben. Also sollte gelten:



Also:



Hier bekomme ich ungefähr einen Fünftel anstatt einen Viertel.

Sieht hier jemand den Fehler? Ist die Überlegung schon falsch?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Gruss
M
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
ich habe mir dein zeug nicht angeschaut - faul Augenzwinkern

ich würde so vorgehen, mit leicht verwirrt nachvollziehbarer notation:



strahlensatz





woraus das wunschresultat folgt
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
Hallo Riwe

Vielen Dank für deine Antwort.
Deine Notation ist gleichwohl nachvollziehbar wie verwirrend.
Aber ich denk ich kapiers jetzt: Bei dir ist die Seitenlänge auf Höhe des SP und die Seitenlänge der Grundfläche.
Also gilt für die Höhe des SP:



Alles klar!

Warum die erste Überlegung aber nicht zum gewünschten Resultat führt, ist mir aber trotzdem ein Rätsel. Denn wenn die Pyramide eine konstante Dichte besitzt, sollte das Volumen des Pyramidenstumpf unter dem SP gleich dem Volumen der kleinen Pyramide über dem SP sein.
Wäre trotzdem unheimlich froh, wenn jemand diese Überlegung unter Lupe nehmen könnte.

Danke und liebe Grüsse
M
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
naja, wenn man schon von verwirrend spricht, da solltest du schon vor der eigenen türe kehren.
dein zeug kann ich, so wie´s oben steht, nicht nachvollziehen unglücklich
G, G(x)....

bei mir steht halt s statt x.
aber egal,
was mir auffällt:

es sollte heißen -denke ich:



womit man bei meinem beitrag wäre Augenzwinkern

da hast du eine 2 zuviel in der klammer,
ob´s dadurch besser wird, siehe oben Augenzwinkern
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
Zitat:
Original von msc77777
...Denn wenn die Pyramide eine konstante Dichte besitzt, sollte das Volumen des Pyramidenstumpf unter dem SP gleich dem Volumen der kleinen Pyramide über dem SP sein.
Wäre trotzdem unheimlich froh, wenn jemand diese Überlegung unter Lupe nehmen könnte.
M


Auf die Massen über und unter dem Schwerpunkt allein kommt es nicht an.
Eine bessere Anschauung bekommst du, wenn du die Pyramide waagerecht hinlegst und sie dir im Schwerpunkt unterstützt vorstellst. Dann siehst du, wie die eine Teilmasse (unter Schwerkraft) links herum und die andere rechts herum dreht und diese Drehmomente (Masse mal Hebelarm) im Gleichgewicht sind. Es ist nicht die Gleichheit der Massen, sondern die Gleichheit der Momente, welche die Schwerpunktskoordinate bestimmt.
msc77777 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zum Schwerpunkt einer Pyramide
Hi Lampe

Das tönt sehr plausibel.
Also ist es so, dass gegen den Spitz zwar die Masse abnimmt aber durch den grösseren Abstand vom SP der Hebelarm grösser ist.
Deshalb ist der SP ein wenig mehr Richtung Spitz (0.25*h) als wenn man einfach die Masse links und rechts gleichmässig aufteilt (~0.2*h).

Vielen Dank für die Erklärung!

und auch an Riwe vielen Dank, ihr habt mir sehr weitergeholfen! Freude

Viele Grüsse
M
Wink
 
 
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