Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform

Neue Frage »

27.04.2011, 08:14	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Meine Frage: Meine Frage ist; Es sei durch f : R3 × R3 ?! R eine Bilinearform definiert (dies muss nicht gezeigt werden!) f((x1, x2, x3)T , (y1, y2, y3)T ) = 3x1y1 ? 2x1y3 + x2y2 ? 3x3y2 + 2x3y3 Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Bilinearform f bezüglich der Basis B = {(1, 1, 1)T , (1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T }. Meine Ideen: Meine Idee; ich habe folgendens gemacht weist aber nicht ob damit die Aufgabe zu ende ist, glaub wohl nicht; also Ich habe dies genommen f((x1, x2, x3)T , (y1, y2, y3)T ) = 3x1y1 ? 2x1y3 + x2y2 ? 3x3y2 + 2x3y3 und folgend eingesetz, f((1,1,1)T , (1,1,1)T) = (3-2+1-3+2) = 1 f((1,1,1)T , (1,1,0)T) = (3-0+1-3+0) = 1 f((1,1,1)T , (1,1,1)T) = (3-0+0-0+0) = 3 damit habe ich doch alle Kombinationen oder? Folgends ergab sich mir eine Matrix; A = 3 -2 1 3 2 3 0 1 -3 0 3 0 0 0 0. Ist das schon die verlangete Darstellungs Martix?
27.04.2011, 08:18	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Meine Frage ist ich schreibe sie eben nur nochmal; Es sei durch f : R3 × R3 −> R eine Bilinearform definiert (dies muss nicht gezeigt werden!) f((x1, x2, x3)T , (y1, y2, y3)T ) = 3x1y1 − 2x1y3 + x2y2 − 3x3y2 + 2x3y3 Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der Bilinearform f bezüglich der Basis B = {(1, 1, 1)T , (1, 1, 0)T , (1, 0, 0)T }.
27.04.2011, 08:36	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Sorry hier nochmal hoffe es geht jetzt; Es sei durch f: R^3 x R^3 --> R eine Bilinearform definiert ( dies muss nicht gezeigt werden) f ((x1, x2, x3)^T , (y1, y2 ,y3)^T) = 3x1y1 - 2x1y3 + x2y2 - 3x3y2 + 2x3y3 Bestimme die Matrixdarstellung der Bilinearform f bezüglich der Basis B = { (1, 1, 1)^T , (1, 1, 0)^T , (1, 0, 0)^T }.
27.04.2011, 13:15	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform kann mir da Bitte jemand ein Tipp geben wie ich weiter vorgehen soll?
27.04.2011, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Nochmal posten und mit LATEX schöner schreiben, das motiviert zum Helfen
27.04.2011, 18:33	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform alles klar mach ich, Es sei durch $\begin{eqnarray} f: R^3 x R^3 -> R \end{eqnarray}$ eine Bilinearform definiert ( dies muss nicht gezeigt werden) $\begin{eqnarray} f ((x_1, x_2, x_3)^T , (y_1, y_2 ,y_3)^T) = 3x_1y_1 - 2x_1y_3 + x_2y_2 - 3x_3y_2 + 2x_3y_3 \end{eqnarray}$ Bestimme die Matrixdarstellung der Bilinearform f bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B = { (1, 1, 1)^T , (1, 1, 0)^T , (1, 0, 0)^T }. \end{eqnarray}$ Idee: nehme $\begin{eqnarray} f((x_1, x_2, x_3)^T , (y_1, y_2, y_3)^T ) = 3x_1y_1 - 2x_1y_3 + x_2y_2 - 3x_3y_2 + 2x_3y_3 \end{eqnarray}$ und setze ein; $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,1)^T) = (3-2+1-3+2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,0)^T) = (3-0+1-3+0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,1)^T) = (3-0+0-0+0) = 3 \end{eqnarray}$ damit erhalte ich doch alle Kombinationen oder? habe ich damit schon die gesuchte Matrixdarstellung? kann leider die Matrix in Latex nicht darstellen.
Anzeige

27.04.2011, 18:39	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3_1 & -2_2 & 1_3 & -3_4 & 2_5 \\ 3_1 & 0_2 & 1_3 & -3_4 & 0_5 \\ 3_1 & 0_2 & 0_3 & 0_4 & 0_5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
27.04.2011, 19:56	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform hab mich vertippt, die dritte Gleichung müsste so sein $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,0,0)^T) = (3-0+0-0+0) = 3 \end{eqnarray}$ könnte mir jemadn sagen ob das ausreicht?
28.04.2011, 11:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider falsch. Hier http://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform findest du die Koordinatendarstellung einer Bilinearform. Daraus geht hervor, dass die Matrix eine 3x3-Matrix sein muss mit den Einträgen $\begin{eqnarray} (b_{ij})=(f(e_i,e_j)) , e_i \in B \end{eqnarray}$ .
29.04.2011, 16:40	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Vielen Dank hab deinen Beitrag erst jetzt gesehen. Wenn es eine 3x3 Matrix sein soll, würd ich jetzt noch denken ich muss noch weitere Kombinationen der Basen ausführen und komme dann auf meine 9 Matrixeinträge, aber das kam mir jetzt so spontan. Ich schaue es mir an. Danke
29.04.2011, 16:42	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform muss aber purer Quatsch sein was ich scheibe sehe jetzt ich mache dann Kombinationen doppelt
29.04.2011, 16:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Du hast die erste Zeile der matrix schon berechnet: $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,1)^T) = (3-2+1-3+2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,0)^T) = (3-0+1-3+0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,0,0)^T) = (3-0+0-0+0) = 3 \end{eqnarray}$
29.04.2011, 17:21	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Habe so eine Martix erhalten, bin mir aber nicht sicher wegen der Reihenfolge der Kombinationen, diese ist doch sicherlich auch zu beachten, $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,1)^T) = (3-2+1-3+2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,0)^T) = (3-0+1-3+0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,0,0)^T) = (3-0+0-0+0) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,1,0)^T) = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,1,1)^T) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,0,0)^T) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,0,0)^T) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,1,1)^T) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,1,0)^T) = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1_1 & 1_2 & 3_3 \\ 4_1 & 2_2 & 3_3 \\ 3_1 & 1_2 & 3_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
29.04.2011, 17:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheint zu stimmen. Die Spaltenindizes kannst du weglassen.
29.04.2011, 18:00	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Ok. Und die Kombination Rheinefolge der Basen? Ich hätte gern gewusst ob es dort eine Formel oder ähnliches für gibt. Habe die Reihenfolge mehr oder weniger geraten anhand der ersten drei Gleichungen.
29.04.2011, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oha, ich habe nicht aufgepasst, das ist natürlich falsch. Du musst zuerst eine Reihenfolge der Basisvektoren festlegen, und diese dann bei der Berechnung beibehalten.
29.04.2011, 18:20	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform ja nu, was ist wenn ich mit den ersten Basisvektor durch bin bzw. wie hier gemacht, $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,1)^T) = (3-2+1-3+2) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,1,0)^T) = (3-0+1-3+0) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,1)^T , (1,0,0)^T) = (3-0+0-0+0) = 3 \end{eqnarray}$ dann gehts laut der Ordnung $\begin{eqnarray} B = { (1, 1, 1)^T , (1, 1, 0)^T , (1, 0, 0)^T }. \end{eqnarray}$ so weiter? $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,1,1)^T) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,1,0)^T) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,1,0)^T , (1,0,0)^T) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,1,1)^T) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,1,0)^T) = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f((1,0,0)^T , (1,0,0)^T) = . \end{eqnarray}$ hab jetzt die Funktionswerte beiseite gelassen.
30.04.2011, 09:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau so geht's. Jede Wahl der Reihenfolge der Basisvektoren liefert eine andere Matrix als Darstellung für die Bilinearform. Jede Wahl der Reihenfolge der Basisvektoren liefert ja auch eine andere Koordinatendarstellung der Vektoren. Das entspricht einer Permutation der Koordinaten. Bei 3 Basisvektoren sind also 6=3!=123 verschiedene Darstellungen möglich und zulässig. Wenn man die Matrixelemente für die Darstellung der Bilinearform zufällig wählt, ergeben sich 9!=123...9 verschiedene Möglichkeiten, also sind die meisten davon falsch.
30.04.2011, 12:42	maru	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform Besten Dank Elvis

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmen die Matrixdarstellung der Bilinearform

Verwandte Themen