Beweis von n-ter Wurzel aus a.....Lösungsansätze |
| 27.04.2011, 12:49 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Beweis von n-ter Wurzel aus a.....Lösungsansätze Ich bin neu angemeldet hier, besuche aber schon länger das Matheboard. Echt toll dass hier so viele engagierte gibt! Ich habe ein kleines Problem. Wie bereits erwähnt, muss ich einen Beweis für die n-te Wurzel von a mit dem Nullstellensatz und dem Monotoniekriterium führen. Mein Problem ist, dass ich keinen Lösungsansatz finden kann. Ich habe mir gedanken über den Nullstellensatz und das Monotoniekriterium gemacht und folgendes festgestellt. Nullstellensatz: Ein Intervall a,b ist mit f(a)*f(b) gleich oder kleiner Null. Sprich es gibt immer mindestens eine Nullstelle. Zum Monotokkriterieum weiß ich, dass eine Funktion mit überall positiver Ableitung streng monoton wachsend ist. So, das ist was mir gegeben ist und was ich aus der Literatur+Internet vergehen konnte. Wie bereits fehlt mir hier der Ansatz für die Lösung der Aufgabe. Es wäre nett wenn mir jemand helfen konnte. Gruß |
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| 27.04.2011, 12:54 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry Psix, aber das ist ziemlich wirr formuliert. Was sollst Du denn nun mit machen? Die Existenz beweisen? Die Eindeutigkeit im positiven reellen? Oder die Monotonie von ? |
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| 27.04.2011, 12:57 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo. Sorry, ich korrigiere 
Ich soll mit den Nullstellensatz und dem Monotoniekriterium die Eindeutigkeit der \sqrt[n]{x} beweisen. Gruß |
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| 27.04.2011, 13:02 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
OK, dann suche nach einer Funktion, die als Nullstelle hat und weise mittels Monotoniekriterium nach, dass es die einzige ist. |
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| 27.04.2011, 13:20 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Helferlein danke für deine Unterstützung. Ich versuche die Funktion herauszubekommen und denke dabei an die Nullstelle n-te Wurzel aus a. Hier stellt sich mir die Schwierigkeit, dass ich mit nur einer Nullstelle ja keine Funktion formen kann.......und sitze somit wieder aufm Schlauch
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| 27.04.2011, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verstehe dein Problem nicht. Beispielsweise hat f(x) = x² - 2 für x > 0 nur eine Nullstelle. |
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| 27.04.2011, 13:45 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo klarsoweit. Mein Problem ist, dass ich das ganze anscheinend nicht richtig verstehen kann. Wie Helferlein bereits gesagt hat, brauche ich eine Funktion, die n Wurzel aus a als eine Nullstelle hat. Meiner Vorstellung nach, gibt es unzählige Funktionen, die so eine Nullstelle aufweisen können. ( stimmt das?) Denn setzte ich Zahlen aus R in N und a, so bekomme ich eine Menge an unterschiedlichen Werten, welche wiederum die Nullstellen verschiedener Funktionen sind. (bin ich noch auf der richtigen Spur?) So, aus diem Grund, brauche ich eine allgemeine Funktion für N Wurzel aus a............ richtig? An dieser Stelle komme ich nicht weiter und kann das nicht mit dem Monotonkriterium verknüpfen....... Ich weiß nur, dass ich aus einer Nullstelle keine Funktion bilden kann. Oder irre ich mich da? Gruß |
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| 27.04.2011, 13:52 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist richtig, dass es unendlich viele Funktionen gibt, die bei eine Nullstelle haben, aber wir suchen natürlich eine möglichst einfache, die sich auch entsprechend einfach untersuchen lässt. Da bist Du mit klarsoweits Beispiel schon sehr nahe an einer allgemeinen Funktion. |
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| 27.04.2011, 13:55 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte nicht persönlich nehmen, aber du kommst mir ein bißchen so vor, wie der Esel, der zwischen zwei Heuhaufen steht und schließlich verhungert, weil er sich nicht zwischen ihnen entscheiden kann... 
Warum in alles in der Welt nimmst du nicht einfach die Funktion wie dir das oben schon mehr oder weniger nahegelegt wurde? 
Edit: Sry, habe die Antwort von Helferlein nicht gesehen, der in etwa dasselbe sagt... |
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| 27.04.2011, 13:56 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay. Noch eine Frage zum Verständnis, kann ich mit einem Beispiel, wie z.B. vom Klarsoweit so eine Existenz bzw die Eindeutigkeit beweisen? würde ich es nach meiner Vorstellung machen, so hätte ich das ja nur für die eine "Variante" bewiesen gehabt oder? Und weiter, was mir noch schwierigkeiten bereitet ist, dass ich es nicht mit dem Monotoniekriterium verknüpfen kann. für mich ist das Kriterium eine reine Definition, wo ich kaum Zahlen oder Werte drin habe...... Das macht für mich iwie keinen Sinn. Gruß |
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| 27.04.2011, 14:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verstehe dein Problem immer noch nicht. Mit dem Zwischenwertsatz zeigst du die Existenz und mit der Monotonie die Eindeutigkeit. |
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| 27.04.2011, 14:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die gewählte Funktion ist ja nur ein Hilfmittel, welches wir uns so zurechtbasteln, dass wir auf möglichst einfachem Weg zum Ziel kommen. Etwa so, als wolltest Du 1²=1 beweisen und nutzt dabei nur die Rechenregel 1*1=1. Natürlich könnte man auch ein komplexeres Verfahren nehmen (Eher didaktisch: 1²=(3-2)²=3²-12+2² = 9-12+4 = 1 oder Additionstheoreme des Cosinus usw.), aber warum sich die Mühe machen, wenn das Endergebnis dasselbe ist? Deine Bedenken bzgl. Eindeutigkeit sind hier überflüssig, da wir nicht die Darstellung des Wurzelterms ändern, sondern eine Eigenschaft ausnutzen, nämlich die, dass der zu untsersuchende Wert Nullstelle einer Funktion ist. Welche wir dafür nehmen ist wie gesagt uns überlassen, es ändert nichts an dem Wert von n-te Wurzel a. |
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| 27.04.2011, 14:30 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Klarsoweit, mein Problem versuche ich dir noch einmal darzustellen
Ich soll mit Hilfe von dem Nullstellensatz und den Monotoniekriterium die Existenz und die Eindeutigkeit der n-ten Wurzel aus a beweisen. soweit ich mit eurer Hilfe jetzt verstanden habe, beweise ich die Existenz mithilfe von den Zwischenwertsatz, also mit einem Beispielsatz, welches n-te Wurzel aus a als eine Nullstelle hat. (soweit okay?) Die Eindeutigkeit......diese soll mit der Monotoniekriterium belegt werden...... aber wie? mir fehlt wie gesagt die Verknüpfung vom Wurzel zu der Monotonie...... Ich kenne die Definition die mir zu der Aufgabenstellung gegeben ist: Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion mit überall positiver Ableitung ist dort streng monoton wachsend. Nun wie soll man sowas mit dem verbinden? Gruß |
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| 27.04.2011, 14:58 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Noch einmal, auch wenn es vermutlich wieder nichts helfen wird: Es geht hier nicht um die Funktion , es geht hier um die Funktion Ist das wirklich so schwer zu begreifen?
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| 27.04.2011, 15:01 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nicht mit einem Beispielsatz, sondern mit einer ganz konkreten Funktion, die Mystic angegeben hat.
Da gibt es keine. Es geht nur um die Monotonie der Funktion . Da diese immer streng monoton steigend ist, kann sie (wenn überhaupt) nur eine Nullstelle haben.
Nicht damit. Siehe den vorigen Punkt. |
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| 27.04.2011, 15:17 | Psix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jungs, danke! Jetzt kommts langsam. Mystic, wie du siehst ja, es scheint sehr schwierig zu sein. Eventuell auch nicht ganz so schwierig aber für mich ist es. Dank eurer Hilfe habe ich jetzt in etwa eine Vorstellung. Ich werde den Beweis versuchen durchzuführen und hier reinposten. Vielen dank nochmal! |
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