Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade

27.04.2011, 13:11	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade Hallo! Folgendes Bsp.: $\begin{eqnarray} g: x-2y=6, \quad h: 2x-y=0 \end{eqnarray}$ sind Tangenten eines Kreises, dessen Mittelpunkt M auf der Geraden $\begin{eqnarray} \vec{X} = \begin{pmatrix} 10 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ liegt. Ich habe bereits einen Lösungsweg gefunden: Die beiden Tangenten müssen die Berührbedingung erfüllen und für die Koordinaten des Mittelpunkts setze ich die Gerade $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ein. Damit erhalte ich zwei Gleichungen, bei denen der Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und der Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ unbekannt sind. Meine Frage: Kennt jemand noch einen anderen (einfacheren) Lösungsweg?
27.04.2011, 13:33	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade als fan der HNF: setze die gerade g_M ein in (da der nenner gleich ist, lasse ich ihn gleich weg ): $\begin{eqnarray} x-2y-6=\pm (2x-y) \end{eqnarray}$ das ergibt sofort: $\begin{eqnarray} t_2=-1\to M_2(3/1)\wedge r=\|\frac{6-1}{\sqrt{5}}\|=\sqrt{5} \end{eqnarray}$ t_1 ist nicht ganz so schön
27.04.2011, 14:47	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade Vielen Dank für die Antwort! Ich bringe beide Tangentengleichungen auf HNF. Und warum setzt du sie dann gleich? Damit würde ich doch den Schnittpunkt, der ein Pol ist, bekommen. Dann soll ich die Mittelpunktgerade in diese Gleichung einsetzen? Ich verstehe den Ansatz nicht. Kannst du mir das nochmals genauer erklären?
27.04.2011, 15:19	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade gerne: wenn ich g_M in die HNF einsetze, bekomme ich den abstand des mittelpunktes M des kreises von der geraden = tangente (als funktion von t), das ist gerade der radius des gesuchten kreises. und da M von beiden geraden denselben abstand r hat - wobei es 2 mögliche anordnungen gibt, daher "+ -" - setze ich dies gleich. ok (zur bestimmung des schnittpunktes von g und h bräuchte ich die HNF nicht) geometrisch: du konstruierst je 2 zu g und h parallele geraden, einmal liegen sie auf derselben seite der geraden, einmal auf verschiedenen und schneidest sie - sic schnittpunkt
28.04.2011, 08:20	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreis: Zwei Tangenten und Mittelpunkt auf Gerade Vielen Dank für die super Erklärung! Zur Vollständigkeit die zweite Lösung: $\begin{eqnarray} t_1 = -\frac{11}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_1 = \left( -\frac{17} 6, -\frac{19} 6 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_1^2 = 1.25 \end{eqnarray}$

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