Komplexe Zahlen

27.04.2011, 13:37

zathan796

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Komplexe Zahlen

Hi ..Ich versuche mich gerade an dieser Aufgabe hier!!

Bestimmen Sie alle Lösungen von

$\begin{eqnarray*} z³+\frac{4}{1+i} =0 \end{eqnarray*}$

Ich bin bis jetzt so vorgegangen!!

$\begin{eqnarray*} z³=-\frac{4}{1+i} \end{eqnarray*}$

dann habe ich denn Nenner genommen!!

$\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{1²+1²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta =arctan \frac{1}{1}= \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt alles zusammen packe habe ich doch folgendes ,oder?

$\begin{eqnarray*} z³=4\sqrt{2} (cos \frac{\pi }{4}+i * \sin\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$

dann habe ich die Formel für die N Wurzel !!

$\begin{eqnarray*} \beta =\frac{\beta +K*2\pi }{n} \end{eqnarray*}$

K=0,12,...n-1

n ist 3

Ich habe irgendwie das gefühl das ich was falsch gemacht habe!! Lösung habe ich noch nicht gesehen!!! ist eventuell der $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ausdruck falsch??

danke euch

27.04.2011, 14:05

Elvis

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Deine Vorgehensweise ist merkwürdig, und irgendwo machst du Fehler. Eine Lösung ist $\begin{eqnarray*} z=1+i \end{eqnarray*}$ , damit ist $\begin{eqnarray*} z^3=2\sqrt 2 (cos \frac {3\pi} 4+i \cdot sin\frac {3 \pi} 4) \end{eqnarray*}$ , die beiden anderen Lösungen bekommst du wie üblich auf einem Kreis durch Multiplikation mit dritten Einheitswurzeln $\begin{eqnarray*} \rho,\rho^2 \end{eqnarray*}$ .

27.04.2011, 14:06

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen!
Ich verstehe nicht, was du gemacht hast. Du mußt $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{1+i} \end{eqnarray*}$ in die Exponentialform bringen. Und das ist offensichtlich nicht $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} (cos \frac{\pi }{4}+i * \sin\frac{\pi }{4}) \end{eqnarray*}$ .

27.04.2011, 14:13

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen!
@Elvis $\begin{eqnarray*} 4\sqrt{2} (cos \frac{\pi }{4}+i * \sin\frac{\pi }{4}) \end{eqnarray*}$ . Die 3 vor dem PI

kommt das von der Moivre´sche Formel

$\begin{eqnarray*} r^n [cos(n*\beta )+i*sin(n*\beta )] \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 14:19

Elvis

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Ja, das kann man so sehen.
Oder so: komplexe Zahlen werden multipiziert, indem man die Beträge der Faktoren multipliziert und die Argumente der Faktoren addiert.

Übrigens ist $\begin{eqnarray*} (\sqrt 2)^3=2\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 14:22

zathan796

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Hmmm was passiert den mit der 4??

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27.04.2011, 14:24

Elvis

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Die 4 wird durch 1+i dividiert Big Laugh

Big Laugh

27.04.2011, 14:31

zathan796

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4 wird durch 1+i dividiert ....fällt die dadruch weg oder??

27.04.2011, 14:41

Elvis

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Berechne $\begin{eqnarray*} \frac 4 {1+i} \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 14:50

zathan796

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Also das ist 2 - 2i

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{2\sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{4}+i*sin \frac{3\pi }{4} ) } \end{eqnarray*}$

4 und 2 kann man ja kürzen denke ich

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{4}+i*sin \frac{3\pi }{4} ) } \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 15:06

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen!
Heidinei. Das ist doch nicht die Darstellung der komplexen Zahl in Exponentialform. Wie wäre es, wenn du mal $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{1+i} \end{eqnarray*}$ mit 1-i erweiterst?

27.04.2011, 15:11

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen!
ALso ich bin jetzt durcheinander!!

Warum exponentialforum??

ich habe doch $\begin{eqnarray*} \frac 4 {1+i} \end{eqnarray*}$ berechnet und raus kommt 2 -2 i

das gesamt ist doch dann $\begin{eqnarray*} \frac{4}{2\sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{4}+i*sin \frac{3\pi }{4} ) } \end{eqnarray*}$
das hier??

27.04.2011, 15:37

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen!

Zitat:

Original von zathan796
Warum exponentialforum??

Von mir aus auch die Polarform.

Zitat:

Original von zathan796
ich habe doch $\begin{eqnarray*} \frac 4 {1+i} \end{eqnarray*}$ berechnet und raus kommt 2 -2 i

Es geht aber um $\begin{eqnarray*} -\frac 4 {1+i} \end{eqnarray*}$ und das ist $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt 2 \cdot e^{\frac{3\pi }{4}} \end{eqnarray*}$ .

27.04.2011, 16:03

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen!
Also folgendes jetzt!!

$\begin{eqnarray*} z³+\frac{4}{1+i} =0 \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} z³=-\frac{4}{1+i} \end{eqnarray*}$

dem!

dann kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} z³=-2-2i \end{eqnarray*}$

oder??

daraus folgt doch mein $\begin{eqnarray*} r= 2\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und mein $\begin{eqnarray*} \alpha =\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

dann kann ich das darstellen in

$\begin{eqnarray*} z³= 2\sqrt{2} (cos \frac{\pi}{4}+ i* sin \frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 16:35

zathan796

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RE: Komplexe Zahlen!
Lautet die Moivresche Formel so?!

$\begin{eqnarray*} (cos(x)+i*sin(x))^n=cos(n*x)+i*sin(n*x) \end{eqnarray*}$ ??

dann würde ich meiner Aufgabe weiterführen und sie so darstellen

$\begin{eqnarray*} z³= 2\sqrt{2} (cos \frac{3\pi}{4}+ i* sin \frac{3\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

dann wären die Lösungen

$\begin{eqnarray*} z= 2\sqrt{2} (cos \frac{\pi}{4}+ i* sin \frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z= 2\sqrt{2} (cos \frac{11\pi}{12}+ i* sin \frac{11\pi}{12} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z= 2\sqrt{2} (cos \frac{19\pi}{12}+ i* sin \frac{19\pi}{12} ) \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 17:13

Elvis

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Die Argumente stimmen, aber der Betrag der Lösungen ist FALSCH.
Außerdem würde ich $\begin{eqnarray*} z_1,z_2,z_3 \end{eqnarray*}$ schreiben statt drei mal $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

27.04.2011, 17:14

zathan796

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was mache ich denn da falsch??

ich komme net drauf!!!

27.04.2011, 17:18

Elvis

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Wiederholung: Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert werden.
Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} |\sqrt[n] {z^n}|=\sqrt[n] {|z^n|} \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 17:29

zathan796

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verstehe ich nicht ...was du mir damit sagen willst..

27.04.2011, 17:40

Elvis

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$\begin{eqnarray*} z^3=2\sqrt 2\cdot (...)\Rightarrow z_i=\sqrt[3]{2\sqrt 2}\cdot (...)=\sqrt 2\cdot (...) \end{eqnarray*}$

27.04.2011, 19:30

zathan796

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Ich komme trotzdem nicht auf diese Lösungen!!!!

Übel

28.04.2011, 09:08

klarsoweit

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Welche Lösungen? verwirrt

verwirrt

28.04.2011, 10:21

zathan796

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Die Lösungen laut buch lauten!!

$\begin{eqnarray*} z0= 1+i<br /> z1= \sqrt{2} (cos\frac{11\pi }{12}+i*sin \frac{11\pi }{12} )<br /> z2= \sqrt{2} (cos\frac{19\pi }{12}+i*sin \frac{19\pi }{12} ) \end{eqnarray*}$

28.04.2011, 10:45

Elvis

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Das sind genau die Lösungen, die du berechnet hast, weil $\begin{eqnarray*} 1+i=\sqrt 2 (cos \frac {\pi} 4 +i\cdot sin \frac {\pi} 4) \end{eqnarray*}$

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