Isomorphismus finden (Orientierungserhaltende Bewegungen, Untergruppe von GL(2, C))

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27.04.2011, 14:30	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus finden (Orientierungserhaltende Bewegungen, Untergruppe von GL(2, C)) Hi! Ich soll unter anderem folgende Aufgaben lösen und wäre froh um ein paar Tipps. Finden Sie einen Isomorphismus von der Gruppe der orientierungserhaltenden Bewegungen zu der Untergruppe von $\begin{eqnarray} GL(2, \mathbb C) \end{eqnarray}$ der Matrizen der Form $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \| a \| = 1<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nunja. Alle orientierungserhaltenden Bewegungen (in $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ) sind von der Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jedoch weiss ich nicht, wie ich einen Isomorphismus zwischen den beiden finden kann... Danke! omg_me
27.04.2011, 17:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungen werden von Drehungen und Translationen erzeugt. Das heißt nicht, dass jede Bewegung die Summe aus einer Drehung und einer Translation ist.
27.04.2011, 18:18	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungen im Allgemeinen nicht. Aber orientierungserhaltende Bewegungen sind doch immer Kompositionen von Translationen und Drehungen. Und die kann man dann doch sozusagen "zusammenfassen", sodass nur noch eine Drehung und nur noch eine Translation hat. (Natürlich wird die Drehung auf ein Vektor angewendet, den hab ich vergessen einzufügen...)
28.04.2011, 10:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie stellst du die Drehung um den Punkt (1,1) mit Winkel 90° als Drehung um (0,0) mit anschließender Translation dar
28.04.2011, 21:14	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. 1:0 für dich! Ich hab da anscheinend was durcheinandergebracht. Irgendwie bin ich jetzt noch mehr verwirrt als vorhin Wir haben nämlich aufgeschrieben, dass $\begin{eqnarray} \forall \beta \in B \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta = t_a \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} d_\phi \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist orientierungserhaltend oder $\begin{eqnarray} \beta = t_a \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} d_\phi \end{eqnarray}$ ° $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ ist orientierungsumkehrend wobei $\begin{eqnarray} t_a \end{eqnarray}$ eine Translation um a, $\begin{eqnarray} d_\phi \end{eqnarray}$ eine Drehung (um den Nullpunkt) um den Winkel Phi, sowie s die Spiegelung an der x1-Achse ist. Ich versuch mal abzuklären, ob wir uns bei unserer Bewegungsgruppe auf Drehungen um den Nullpunkt bzw. Spiegelungen an der x1-Achse beschränken... (Hab ich's jetzt noch schlimmer gemacht, oder ergibt das einigermassen Sinn? )
29.04.2011, 10:26	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub doch eine Darstellung für die Drehung um 90° um (1/1) gefunden zu haben. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 && -1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Einverstanden? (Habs nur mit ein paar Vektoren durchgerechnet...)
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29.04.2011, 16:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Einverstanden. ... den Isomorphismus kriege ich auch nicht hin ... sorry
29.04.2011, 17:05	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hälst du davon, wenn man die die Translationen, und Drehungen im Komplexen schreibt? Also $\begin{eqnarray} \beta = a \cdot z + b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray}$ Und die Abbildung wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} f(a \cdot z + b) = \begin{pmatrix} a && b \\ 0 && 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese ist zumindest bijektiv, aber ein Isomorphismus?
29.04.2011, 17:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} z=x+iy=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(z)=az+b=e^{i\phi}z+b= \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mir ist nicht klar, wie das mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zusammenhängen kann. Oder geht's darum nicht ? P.S.: Ich glaub, ich war doof. Das ist doch schon der Isomorphismus, den wir gesucht haben. Zu jeder Bewegung gehört genau ein Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und ein Translationsvektor $\begin{eqnarray} (d_1,d_2) \end{eqnarray}$ . Dem Winkel ordnen wir $\begin{eqnarray} a=e^{i\phi}=cos(\phi)+i\cdot sin(\phi) \end{eqnarray}$ zu, dem Vektor $\begin{eqnarray} b=d_1+id_2 \end{eqnarray}$ . FERTIG. Insgesamt ordnen wir einer Bewegung $\begin{eqnarray} (\phi,(d_1,d_2)) \end{eqnarray}$ genau ein Element $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit \|a\|=1 zu.
29.04.2011, 17:34	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok! Danke!
29.04.2011, 17:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv und surjektiv ist klar, oder ? Gruppenhomomorphismus musst du auch noch zeigen (d.h. Hintereinanderausführung von Bewegungen ist per Zuordnung Multiplikation von Matrizen).
29.04.2011, 18:37	omg_me	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Die Bijektivität ist offensichtlich. Das mit dem Gruppenhomo hab ich auch noch hingekriegt! Danke für deine Hilfe! GreeZ omg_me

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