ohne Beschränkung der Allgemeinheit |
| 27.04.2011, 14:40 | Hexenweib | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| ohne Beschränkung der Allgemeinheit ich hab bei folgender Aufgabe einfach nur die Frage ob meine Lösungen eurer Meinung nach so richtig sind. Erstmal zur Erklärung: oBdA (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) oder gleichbedeutend (ohne Einschränkung) Hier die Aufgabe: Entscheiden Sie in jedem der folgenden Fälle, ob richtig verwendet worden ist. Begründen Sie Ihre Antwort! a) Aufgabe: Es seien M, N Mengen gleicher Mächtigkeit und es sei eine injektive Abbildung. Zeige, dass f bijektiv ist. Beweis: Setze ... b) Aufgabe: Zeige, dass die Summe von zwei geraden Zahlen immer gerade ist. Beweis: seien die beiden geraden Zahlen 2 und 4 ... c) Aufgabe: Herr Piependiek möchte seine 5 Gäste (2 männlich, 3 weiblich) und sich selbst so um seinen runden Esstisch plazieren, dass je zwei Tischnachbarn verschiedenes Geschlecht haben sollen. Wie viele Möglichkeiten hat er? Beweis: Ersetze die Menge der Frauen durch eine Menge von 3 weißen Kugeln und die Menge der Männer durch eine Menge von 3 schwarzen Kugeln... d) Aufgabe: Zeige, dass sich jede ungerade ganze Zahl n eindeutig als Summe einer geraden ganzen Zahl und 1 schreiben lässt. Beweis: sei ... Also ich hab mir überlegt das die ersten beiden falsch sind und die letzten beiden richtig. Zur Begründung: bei a) kann man ja nicht einfach die 2 Mengen gleich setzen bei b) kann man sich ja nicht irgendwelche Zahlen rausnehmen bei c) Wird das ganze ja nur auf Kugeln übertragen bei d) Wird zuerst ein n>0 betrachtet um danach auf etwas anderes zu schließen Irgendwelche Einwände? 
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| 27.04.2011, 16:36 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: ohne Beschränkung der Allgemeinheit a) ist klar falsch beantwortet... Die anderen Antworten stimmen m.E., wenngleich deine Begründungen oft sehr seltsam und ohne eigentliche Aussage sind... Wer ist eigentlich auf die idiotische Idee gekommen, eine gebräuchliche und allgemein verwendete Abkürzung wie o.B.d.A. (oder meinetwegen oBdA) durch zu ersetzen? 
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| 27.04.2011, 16:44 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: ohne Beschränkung der Allgemeinheit
EDIT: Vergiss es - hatte den Zusatz "Mengen gleicher Mächtigkeit" überlesen 
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| 27.04.2011, 17:05 | Hexenweib | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was meinst du mit falsch beantwortet? das obda dort doch richtig angewandt wird? Bin grad etwas verwirrt.... |
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| 27.04.2011, 17:18 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hat man 2 endliche Mengen M und N gleicher Kardinalität , so ist jede injektive Abbildung auch bijektiv, die Behauptung also trivial. (dies deckt offenbar den Fall ab) Interessant ist in diesem diesem Fall also nur die Kardinalität der Mengen, welche laut Voraussetzung gleich sind |
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| 27.04.2011, 17:31 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich beschäftige mich gerade mit derselben Aufgabe. Dank euch hab ich jetzt mal meine Vermutung bestätigt bekommen, dass oBdA in a) "korrekt" angewendet wurde. Außerdem hab ich nun eine schlüssige Begründung warum es so ist. Aber wie sieht es mit den anderen drei Teilen aus? Bei b) denke ich wie Hexenweib, dass die Anwendung von oBdA falsch ist. Aber wie schlüssig begründen? Mir fällt nur ein: Es könnte ein Besipiel sein, dass zufällig funktioniert. Bei c) denke ich, dass oBdA falsch ist, da man doch nur in Geschlecht bzw. Farbe unterteilt, man aber nicht unterscheiden kann, welche Kugel bzw Mann/Frau nun zuerst "gezogen" wird. Oder übersehe ich da etwas? Bei d) bin ich der Meinung es ist korrekt angewendet, aber mir fällt keine sinnvolle Begründung ein... |
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| 27.04.2011, 17:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sind M und N unendliche Mengen mit gleicher Kardinalität, so stimmt die Behauptung nicht. Eine injektive Abbildung ist dann nicht zwangsläufig bijektiv. |
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| 27.04.2011, 17:51 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh, dann habe ich was missverstanden. Das heißt zum Beispiel, wenn ich eine Abbildung von |N nach |R habe, die inektiv ist, muss dieselbe Abbildung von |R nach |R nicht injektiv sein, wie zum Beispiel x²? |
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| 27.04.2011, 17:56 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe deine Antwort nicht. und haben doch gar nicht die gleiche Kardinalität. Nimm z. B. als M die geraden natürlichen Zahlen und als N alle natürlichen Zahlen. Jetzt bilde M auf die geraden Zahlen in N ab. Die Abbildung ist offensichtlich injektiv, aber nicht surjektiv, also auch nicht bijektiv. |
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| 27.04.2011, 18:02 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dieser Aussage kann ich dann also begründen, dass sei oBdA M=N.... falsch ist, da ich ein Gegenbeispiel für einen konkreten Fall aufgezeigt habe, auch wenn der "Spezialfall" gilt? Sorry, aber mit oBdA tu ich mir noch ein wenig schwer. |
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| 27.04.2011, 18:05 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. |
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| 27.04.2011, 18:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das macht die ganze Sache etwas kompliziert... Die Behauptung, um die es hier geht ist zwar allgemein falsch, der Beweisversuch mit dem o.B.d.A. wäre aber richtig, auch wenn er letztendlich dann scheitern muss... |
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| 27.04.2011, 18:12 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das sehe ich nicht so. Das oBdA wäre doch nur gerechtfertigt, wenn jeder Beweis für M = N sich in offensichtlicher Weise auf den Fall M <> N übertrage lassen würde. Wieso dass der Fall sein sollte, ist aber nicht ersichtlich, selbst wenn die Behauptung korrekt wäre. |
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| 27.04.2011, 18:15 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, also ist die Aussage an sich falsch aber die Anwendung von oBdA faktisch in Ordnung. Wie sieht es denn bei den anderen Aufgabenteilen aus? Sind meine Vermutungen da richtig und wenn ja, wie kann man sie sinnvoll begründen? Irgendwie ist die Aufgabe recht "schwammig"... |
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| 27.04.2011, 18:23 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie du meiner Antwort an Mystic entnehmen kannst, halte ich die Verwendung von oBdA in a) für gänzlich ungerechtfertigt, nicht nur weil die Behauptung falsch ist. Bei b) ist sie selbstverständlich nicht gerechtfertigt, denn ein Beispiel beweist nichts allgemein. c) ist in Ordnung. d) ist auch nicht in Ordnung, jedenfalls meiner Meinung nach. Die Behauptung selbst stimmt natürlich. Aber wieso folgt aus einem Beweis für n > 0 offensichtlich ein Beweis für n < 0? |
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| 27.04.2011, 18:33 | m0pf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also scheiden sich an a) die Geister 
Kann man c) dann so begründen, dass man mit Hilfe des Kugelmodells die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten kombinatorisch errechnen kann? |
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| 27.04.2011, 18:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Das Kugelmodell ist ja offensichtlich isomorph zum Personenmodell. |
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| 27.04.2011, 18:56 | Hexenweib | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
na wenigstens einer ist meiner Meinung^^ |
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| 27.04.2011, 19:07 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: ohne Beschränkung der Allgemeinheit
Beweis(versuch): Wir können o.B.d.A. M=N annehmen... Ist nämlich eine Bijektion, so wäre dann immer noch eine Injektion und wenn wir für die Abbildung h zeigen können, dass sie tatsächlich sogar bijektiv ist, dann gilt dies wegen natürlich auch für f, da es dann die Komposition zweier bijektiver Abbildungen wäre... [Im weiteren Verlauf des Beweises kommt man dann natürlich in eine Sackgasse, bis hierher ist aber m.E. noch alles in Ordnung] |
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| 27.04.2011, 19:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: ohne Beschränkung der Allgemeinheit Wenn man eine solche Begründung für das oBdA voranschickt, kann man anschließend natürlich oBdA sagen. Wenn man die Begründung weglässt, sollte sie so offensichtlich, dass man das Hinschreiben für unnötig hält. Das hängt dann sicher vom Stand der Vorlesung, dem Leserkreis etc. ab. |
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