Kräfteberechnung mit Matrix

27.04.2011, 16:37

ravesite

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Kräfteberechnung mit Matrix

Meine Frage:
Habe folgende Vektoren über gegebene Punkte aufgestellt:
ab= (0 -3 -2,5)
ac= (0,75 -5 -2,5)
ad= (-1,25 -5 -2,5)
An Punkt A (0/3/2,5) hängt eine Kraft von 5000N senkrecht nach unten.
Die Einzelkräfte auf die Stützen (Vektoren) sind über das Gaußsche Eliminationsverfahren zu berechnen.

Meine Ideen:
Abgesehn von den Vektoren die ich aufgestellt habe habe ich noch die jeweiligen Beträge und Einheitsvektoren aufgestellt. Das Gaußsche Eliminationsverfahren währe mir soweit klar, ich schaffe es nur nicht die Matrix aus den Vektoren mit den unbekannten Kräften aufzustellen.
Bin für jede Hilfe Dankbar.
MfG ravesite

27.04.2011, 17:27

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
naja einen versuch ist es ja wert Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} F\cdot(0,0,-1)^T=F_b\cdot(cos\alpha_x=\frac{(1,0,0)^T\cdot \vec{ab}}{|\vec{ab}|},...)^T+F_c\cdot(....)^T+F_d\cdot(...)^T \end{eqnarray*}$

könnte eventuell die gesuchte matrix liefern

27.04.2011, 20:29

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
Zunächst mal danke für den Ansatz.
Allerdings verstehe ich nicht genau was ich mit dem Ausdruck (...)^T
machen soll...Also ich weiß, dass z.B. A^T eine transformierte Matrix ist, wo die Werte vertauscht sind, aber wie soll ich das in deinem Ansatz behandeln?
MfG ravesite

27.04.2011, 20:34

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
genauso Augenzwinkern

Augenzwinkern

damit du einen spaltenvektor bekommst, dessen ERSTE komponente ich dir für F_1 hingemalt habe, die anderen komponenten werden analog bestimmt

28.04.2011, 09:22

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
und so würde das dann meiner vermutung nach ausschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2011, 17:58

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
Also ich habe das dann doch erstmal versucht über Ebenen zu lösen - also 3 Ebenengleichungen aufgestellt und nach Gauß gelöst - da kommen jedoch schönere Werte heraus - aber bin mir auch nicht allzu sicher ob das so richtig ist. Big Laugh

Big Laugh

...Wie müsste ich denn weiter vorgehen, wenn ich die Matrix gelöst habe um dann die einzelnen Kräfte herauszubekommen?

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28.04.2011, 18:01

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix

Zitat:

Original von ravesite
Also ich habe das dann doch erstmal versucht über Ebenen zu lösen - also 3 Ebenengleichungen aufgestellt und nach Gauß gelöst - da kommen jedoch schönere Werte heraus - aber bin mir auch nicht allzu sicher ob das so richtig ist. Big Laugh

Big Laugh

...Wie müsste ich denn weiter vorgehen, wenn ich die Matrix gelöst habe um dann die einzelnen Kräfte herauszubekommen?

das würde mich schon sehr interessieren, wie du das über ebenen gemacht hast verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

schreibe doch bitte einmal den rechenweg her und was rauskommt bzw. herauskommen soll

28.04.2011, 19:20

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
das mit den Ebenen war auch mehr so ein verzweifelter Versuch - ich bin mir auch nicht sicher wo das hinführt aber ein Bekannter meinte ich könnte es mal so probieren. Bin auch nach der Matrix wie gesagt nicht weiter gekommen...
(habe den Kraftvektor auf (0/0/-1) reduziert - kam mir irgendwie logischer vor da ja die Kraft bei den anderen Vektoren auch nicht enthalten ist - wenn das falsch war wäre das aber nicht das größte Problem)

$\begin{eqnarray*} Vektoren: \vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -2,5 \end{pmatrix} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0,75 \\ -5 \\ -2,5 \end{pmatrix} \vec{AD} = \begin{pmatrix} -1,25 \\ -5 \\ -2,5 \end{pmatrix} \vec{F} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ebenen: X=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2,5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ -2,5 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} Y=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2,5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0,75 \\ -5 \\ -2,5 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} Z=\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2,5 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} -1,25 \\ -5 \\ -2,5 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gauß:<br /> \begin{pmatrix} -12 & 3 & 6 & 24 \\ 0 & 5 & 6 & 30 \\ 2 & 0,5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ I + 6*III
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 & 3 & 6 & 24 \\ 0 & 5 & 6 & 30 \\ 0 & 6 & 12 & 48 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -3*II + 2,5*III
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -12 & 3 & 6 & 24 \\ 0 & 5 & 6 & 30 \\ 0 & 0 & -3 & 30 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Lösung:
-12x + 3y +6z = 24 x=-2,5
0x + 5y +6z = 30 y=18
0x + 0y -3z = 30 z=-10

28.04.2011, 19:44

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
wenn du mir jetzt noch verrätst, wie du von den ebenen auf die matrix kommst und was nun x, y und z sind verwirrt

verwirrt

meine oben skizzierte ide ist halt:
man zerlegt die unbekannten kräfte in ihre komponenten (in bezug auf die einheitsvektoren des koosystems) und hat damit ein sytem von 3 gleichungen mit 3 unbekannten, das es zu lösen gilt.

aber ich lerne gerne etwas neues Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2011, 20:12

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
Die Ebenen habe ich lediglich wie oben zu sehen aufgestellt und dann umgeformt nach:
X: 5y+6z=30
Y: -12x+3y+6z=24
Z: 2x+0,5y+z=4
und die Koeffizienten dann in eine Matrix eingesetzt (1. und 2. Zeile vertauscht damit oben keine 0 am Anfang steht)
x,y und z bekomme ich raus wenn ich die nach Gauß umgeformte Matrix auflöse aber was mir das dann bringt weiß ich halt selber nicht... verwirrt

verwirrt

Wie sollte ich denn mit der von dir gezeigten Matrix verfahren um die Kräfte zu bekommen?

Edit:
Ich habe auch noch den Ansatz
$\begin{eqnarray*} \vec{F} = F*\vec{e}_{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = F_{B}*\vec{e}_{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = F_{C}*\vec{e}_{C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = F_{D}*\vec{e}_{D} \end{eqnarray*}$
von meinem Lehrer erhalten aber irgendwie komme ich darüber nicht auf die Matrix bzw auf das Gleichungssystem...

28.04.2011, 20:24

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix

Zitat:

Original von ravesite
Die Ebenen habe ich lediglich wie oben zu sehen aufgestellt und dann umgeformt nach:
X: 5y+6z=30
Y: -12x+3y+6z=24
Z: 2x+0,5y+z=4
und die Koeffizienten dann in eine Matrix eingesetzt (1. und 2. Zeile vertauscht damit oben keine 0 am Anfang steht)
x,y und z bekomme ich raus wenn ich die nach Gauß umgeformte Matrix auflöse aber was mir das dann bringt weiß ich halt selber nicht... verwirrt

verwirrt

Wie sollte ich denn mit der von dir gezeigten Matrix verfahren um die Kräfte zu bekommen?

Edit:
Ich habe auch noch den Ansatz
$\begin{eqnarray*} \vec{F} = F*\vec{e}_{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = F_{B}*\vec{e}_{B} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = F_{C}*\vec{e}_{C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = F_{D}*\vec{e}_{D} \end{eqnarray*}$
von meinem Lehrer erhalten aber irgendwie komme ich darüber nicht auf die Matrix bzw auf das Gleichungssystem...

deine ebenenvariante bleibt mir verschlossen unglücklich

unglücklich

der ansatz deines lehrers ist auch meiner Augenzwinkern

Augenzwinkern

(wobei mir deine notation gar nicht gefällt)

28.04.2011, 20:33

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
Das mit den Ebenen war ja eh sehr unsicher...
die Notation habe ich von der Tafel bzw den Skizzen des Lehrers übernommen - bin aber gerne für andere Vorschläge offen.
Wenn das der selbe Ansatz ist scheint das der richtige Weg zu sein. Die von dir aufgestellte Formel im ersten Beitrag ist mir aber auch noch nicht so schlüssig - kannst du vielleicht nochmal detailierter beschreiben was da wo eingesetzt werden muss und wie ich daraus dann die Matrix formen kann?

28.04.2011, 20:54

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
ich versuche es anders rum/ einfacher oder so:
kräfte werden durch vektoren beschrieben.
sie sind also definiert durch größe (betrag) und richtung
richtung und/ oder größe sind entweder gegeben (F = 5000 senkrecht nach unten) oder sollen bestimmt werden, wobei dann natürlich einzelne parameter gegeben sein müssen.
das sind hier die wirkungslinien der unbekannten kräfte,
sie wirken entlang der verbindungslinien der einzelnen punkte
- alles leger formuliert.

daher kann man die kräfte so darstellen

$\begin{eqnarray*} \vec{F}=F\cdot \vec{e}_F=5000\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und als beispiel die (betragsmäßig noch unbekannte, zu berechnende) kraft, die in richtung von A nach B wirkt:

$\begin{eqnarray*} \vec{F}_{AB}=F_{B}\cdot\vec{e}_{ab}={F}_B\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-2.5 \end{pmatrix} \cdot\frac{1}{\sqrt{0^2+3^2+2.5^2}}=F_B\cdot\begin{pmatrix} 0 \\-0.77 \\-0.64 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und das gleichungssystem lautet letztendlich

$\begin{eqnarray*} \vec{F}=\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{AC}+\vec{F}_{AD} \end{eqnarray*}$

und jetzt vergleiche mit meiner tabelle oben
(natürlich solltest du mit mehr nachkommastellen rechnen)

ok verwirrt

verwirrt

28.04.2011, 21:40

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
gut das erscheint mir logisch...ich werd das dann mal soweit ausprobieren - aber was mache ich dann wenn ich die matrix aufgestellt habe...bzw mit welchem rechenbefehl muss ich das in nen rechner eingeben um die gewünschte lösung zu bekommen (schriftlich ist das ja mit solchen zahlen sehr mühsam)

28.04.2011, 22:28

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix

Zitat:

Original von ravesite
gut das erscheint mir logisch...ich werd das dann mal soweit ausprobieren - aber was mache ich dann wenn ich die matrix aufgestellt habe...bzw mit welchem rechenbefehl muss ich das in nen rechner eingeben um die gewünschte lösung zu bekommen (schriftlich ist das ja mit solchen zahlen sehr mühsam)

ich kenne deinen rechner nicht, ich mache so etwas immer im kopf, haha smile

smile

ich habe das gls in excel mit hilfe der cramerschen regel gelöst,
dort sollte man auch gauss problemlos umsetzen können.

29.04.2011, 16:39

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
auf deine matrix bin ich jetzt gekommen...nur mit wesentlich genaueren zahlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn ich die jetzt mit dem taschenrechner umforme gibt der mir eine obere dreiecksmartix aus aber die diagonale enthält nur einsen - ist das richtig?
und was muss ich jetzt damit weiter machen?

29.04.2011, 17:19

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix

Zitat:

Original von ravesite
auf deine matrix bin ich jetzt gekommen...nur mit wesentlich genaueren zahlen Augenzwinkern

Augenzwinkern

wenn ich die jetzt mit dem taschenrechner umforme gibt der mir eine obere dreiecksmartix aus aber die diagonale enthält nur einsen - ist das richtig?
und was muss ich jetzt damit weiter machen?

dsas ist ja toll.

jetzt mußt du auch einmal deinen eigenen kopf benutzen.
ich bin doch kein hellseher unglücklich

unglücklich

vermutlich hast du als z-komponente von F -5000 eingegeben verwirrt

verwirrt

beachte den titel

30.04.2011, 15:43

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
hm also auf deine ergebnisse komme ich auch wenn ich -1 statt -5000 nehme...-5000 habe ich nur anfangs genommen da du ja in deiner ersten matrix auch den wert als z-komponente eingesetzt hast verwirrt

verwirrt

aber irgendwie müssen ja die 5000N mit den 3 werten die jetzt aus der matrix herausgekommen sind verrechnet werden...also nimmt man die werte als faktoren?
eigentlich würde ich laut der formel:
$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \vec{AB} +\vec{AC} +\vec{AD} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = F_{B} * \vec{e_{AB}} \end{eqnarray*}$ etc
denken dass ich über die matrix direkt die kräfte ausrechne, da ich ja sogesehn die matrix nach $\begin{eqnarray*} F_{B} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F_{C} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_{D} \end{eqnarray*}$ auflöse.
was aber so einfach ja nicht sein kann wenn die kraft -5000N fehlt Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 15:50

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
ach gotterl unglücklich

unglücklich

multipliziere einfach deine ergebnisse mit 5000
und denke (noch) einmal über alles nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

insbesondere AUCH über rundungsfehler etc.

30.04.2011, 16:01

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
Gut dann war mein Gedankengang ja richtig...rundungsfehler gibts immer aber ich habe mit 11 stellen gerechnet das sollte reichen =)
Danke, dass du mich da durchgeführt hast, jedenfalls hab ich das system jetzt soweit verstanden!
Eine letzte frage habe ich da aber noch(...allerdings nur wenn du mit dem thema vertraut bist):
laut aufgabenstellung soll ich die lösungsweise (gauß) mit dem cholesky-algorithmus vergleichen (somit also natürlich auch erstmal rechnen). laut formel:
"Jede symmetrische positiv definite Matrix A $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^{n\times n} \end{eqnarray*}$ kann eindeutig in der Form

$\begin{eqnarray*} A = LDL^{T} \end{eqnarray*}$

geschrieben werden." (siehe wikipedia "Cholesky-Zerlegung")
Problem wäre dass ich keine symmetrische matrix habe und bei den zahlen kommt mir das auch eher unmöglich vor diese symmetrisch zu bekommen...
Frage daher: Ist das verfahren hier schlicht nicht anwendbar oder ist es doch möglich die matrix so umzuformen, dass es in den algorithmus passt?

30.04.2011, 16:23

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
welchen gedankengang meinst du denn nun verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

diese zerlegung gibt es nur -für.... wie du eh schreibst - daher sehe ich da auch keinen weg,
aber ich bin weder bei kräften noch sonst wo ein experte Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 16:43

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
hm gut dann probiere ich da einfach noch etwas rum...
ähm ich meinte den gedankengang "...also nimmt man die werte als faktoren" aus meinem vorletzten beitrag Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.04.2011, 17:26

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix

Zitat:

Original von ravesite
hm gut dann probiere ich da einfach noch etwas rum...
ähm ich meinte den gedankengang "...also nimmt man die werte als faktoren" aus meinem vorletzten beitrag Augenzwinkern

Augenzwinkern

naja selbstbewußtsein ist ja eine schöne sache Augenzwinkern

Augenzwinkern

eine mögliche möglichkeit wäre, die gegebene matrix zu "symmetrieren"

30.04.2011, 17:51

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
wie funktioniert dieses symmetrieren denn?
die erste zeile kommt mir ja noch bekannt vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

im übrigen ist mir aufgefallen dass unsere ergebnisse der matrix falsch sein dürften (f1,f2 und f3)
der rechner kommt bei mir auf folgende ergebnisse:
f1= 3,905124836 (erstaunlicherweise fast identisch)
f2= -8,460385631
f3= 5,15539766
nur komisch dass ich per hand zunächst die selben ergebnisse herausbekommen habe wie von dir errechnet.

30.04.2011, 18:07

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
wie bekannt, kann man ja vielfache von zeilen und spalten addieren und subtrahieren.
das mußt du nur geeignet durchführen.
ob das sinnvoll ist, sei dahin gestellt verwirrt

verwirrt

schon oben habe ich hingemalt: ich bin kein HELLSEHER.
was du in deinen rechner eingibst und der damit macht, das mußt du schon alleine lösen.

tipp: mache doch einmal die PROBE statt herum zu lamentieren,
da stimmt doch die 1.zeile nicht unglücklich

unglücklich

30.04.2011, 18:41

ravesite

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
die Idee mit der Probe habe ich gleich mal durchgeführt - ich komme jedoch sowohl mit meinen errechneten Werten, alsauch mit den vom Rechner ausgespuckten Werten auf annährend die gleichen Ergebnisse (fast 0 bei der 1. und 3. bzw fast -1 bei der 2. zeile - das "fast" ist natürlich durch die Rundungsfehler hervorgerufen zB: 8,548*10^-11 statt 0) unglücklich

unglücklich

30.04.2011, 18:50

riwe

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RE: Kräfteberechnung mit Matrix
da würde ich entweder den rechner wegschmeissen oder den umgang mit ihm üben.

das ist meine letzte äußerung zu deinen ZAHLEN unglücklich

unglücklich

die richtigen mußt du nun schon alleine finden

beachte den titel des bilderls

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