Kostenrechnung- Zeichnerische Bestimmung des Gewinnmaximums |
| 27.04.2011, 16:43 | choonisan | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kostenrechnung- Zeichnerische Bestimmung des Gewinnmaximums Ich sitze nun fast 2h an dieser Aufgabe... aber ich komm leider nicht weiter! Eine Fahrradfirma verkauft Fahrräder zu einem 600? netto Preis. Kostenfunktion K(x) = 0,1x^3 - 12x^2 + 600x + 9800 Erlösfunktion E(x) = 600x a) Berechne die Grenzkosten für den gewinnmaximierenden Output. Es ergibt sich ein zunächst ein unerwarteter Zusammenhang mit den Vorgaben zum Erlös. Begründe algebraisch und inhaltlich, dass sich dieser Zusammenhang auf beliebige Kosten- und Erlösfunktionen verallgemeinern lässt. Inwiefern kann man dieses Ergebnis zu einer zeichnerischen Bestimmung des Gewinnmaximums nutzen? b) Bestimme zeichnerisch das Gewinnmaximum, das sich ergäbe, wenn das Unternehmen die Fahrräder 100 ? billiger verkaufen würde. Meine Ideen: So - der gewinnmaximierende Output liegt bei 80 Fahrrädern. Die Grenzkosten ergeben sich ja dann aus der Grenzkostenfunktion K'(x) mit K'(80) = 600 ?. Der einzige 'Zusammenhang mit den Vorgaben des Erlös' den ich da sehe sind die 600 welche ja auch in E(x) = 600x auftauchen. So sehr ich recherchiere und überlege, ich komm einfach nicht auf die algebraische und inhaltliche Begründung! Das Gewinnmaximum ist der Hochpunkt von G(x) = E(x) - K(x). Leider fällt mir aber auch nicht ein, wie ich diesen durch das Ergebnis zeichnerisch bestimmen kann. Wäre super dankbar für ein paar weitere Ansätze!! 
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| 28.04.2011, 09:27 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Grundvoraussetzung für diese Rechenspiele ist immer, dass man den ganzen Krempel, den man produziert, auch verkaufen kann. In der Realität schaut das nämlich oft anders aus als in der Mathestunde. Aber tun wir mal so als ob: Deine Kostenfunktion ist eine Funktion dritten Grades, die die Erlösfunktion in drei Punkten schneidet. Einer dieser Punkte liegt bei x=-25,916, aber nachdem wir keine negativen Stückzahlen produzieren und verkaufen können, können wir diesen Punkt vergessen. Der nächste Schnittpunkt liegt bei x=33,69785. Diesen Punkt bezeichnet man als "Break-Even-Point". Das heißt: Wenn man mehr als diese Stückzahl produzieren und verkaufen kann, hat man den Durchbruch geschafft. Ab dieser Stückzahl mach man Gewinn. Also: 33 Fahrräder: Verlust 34 Fahrräder: Gewinn Du hast auch richtig ausgerechnet, bei welcher Stückzahl der Gewinn maximal wird, das ist bei genau 80 produzierten und verkauften Rädern der Fall. Aber die Kostenfunktion und die Erlösfunktion schneiden einander bei noch größeren Stückzahlen nocheinmal: Wenn x größer als 112,21780 wird, werden die Kosten wieder größer als der Erlös. Das ist soetwas wie ein umgekehrter Break-Even-Point: Wenn man da drüberkommt, macht man wieder Verlust. Die Grenzkostenfunktion ist die erste Ableitung der Kostenfunktion: Davon die erste Ableitung: Die Grenzkosten für 80 Stück sind daher genau 600 Euro. Die Grenzkosten geben an, um wieviel meine Produktionskosten steigen würden, wenn ich ein Stück mehr produzieren würde. Im vorliegenden Fall steigen die Kosten bei dieser Stelle um genau soviel, wie ich für den Verkauf eines Stück einnehmen würde. Das heißt: Wenn ich die Stückzahl erhöhe, kann ich dadurch den Gewinn nicht steigern. Diesen Punkt kann ich auch erhalten, indem ich die Grenzkostenfunktion mit der ersten Ableitung der Erlösfunktion schneide. Die erste Ableitung der Erlösfunktion ist eine Konstante, also eine horizontale Linie: E'=600 Ich nenne diese Ableitung der Erlösfunktion mal den "Einzelstückerlös" (vielleicht gibts in der Literatur einen anderen Begriff dafür, ich mag jetzt nicht danach suchen). Wenn die Grenzkosten genau gleich groß sind wie der Einzelstückerlös, kann eine (kleine) Veränderung der Stückzahl den Gewinn nicht verändern. Das heißt, dass sich an dieser Stelle ein Extremwert der Gewinnfunktion befinden muss. Entweder ein (lokales) Maximum, oder ein (lokales) Minimum. Im wirklichen Leben wird ein Produzent natürlich versuchen, das globale Maximum zu erreichen, das ist entweder das einzige lokale Maximum, oder, falls es mehrere lokale Maxima gibt, das größte von allen. |
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| 28.04.2011, 11:33 | choonisan | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dankeschön Vielen Dank! Ich habe mir schon fast gedacht dass es was mit der Erlösfunktionsableitung, also der Grenzerlösfunktion, zu tun hat. Soweit ich das ganze nun verstanden habe kann ich den Schnittpunkt von K' und E' insofern zur zeichnerischen Bestimmung des Gewinnmaximums nutzen, dass ich die x-Stelle kenne an der das Maximum von G sein muss. D.h., ich muss also die Gerade x = 80 'zeichnen' und mit der Gewinnfunktion schneiden lassen. Wenn die Fahrräder nun 100 Euro billiger verkauft werden muss ich also das selbe Verfahren mit diesen Funktionen durchmachen: K(x) = 0,1x^3 - 12x^2 + 500x + 9800 (?) K'(x) = 0,3x^2 - 24x + 500 (?) E(x) = 500x E'(x) = 500 Ich hoffe ich bin auf der richtigen Spur? |
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| 28.04.2011, 15:57 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, genau |
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| 29.04.2011, 09:49 | choonisan | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Oh je Hab gerade alles nochmals durchgeschaut und festgestellt, dass das Gewinnmaximum ja genau gleich bleibt, wenn die Fahrräder 100 € billiger verkauft werden würden. Ist das normal? |
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| 29.04.2011, 12:48 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, das ist weder normal noch korrekt. Ich hatte leider übersehen, dass du auch in der Kostenfunktion die 600x durch 500x ersetzt hast. Das ist falsch! Warum soll sich etwas an der Zusammensetzung der Kosten ändern wenn du den Verkaufspreis änderst? |
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