Wurzelgleichung umstellen

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27.04.2011, 17:32	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelgleichung umstellen Meine Frage: Hallo allerseits, ich habe ein Problem, ich muss diese zwei Gleichungen nach b auflösen: $\begin{eqnarray} \epsilon = \frac{\sqrt{a²-b²}}{a} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon = \sqrt{1-\frac{b²}{a²} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe so ziemlich alles probiert, aber ich komme nicht auf die richtige Lösung. Kann mir bitte jemand helfen? Vielen Dank schonmal im vorraus! Gruß Morbz
27.04.2011, 18:06	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriere beide Seiten der Gleichungen, dann ist schonmal die Wurzel weg. Dann musst du nur noch umformen, bis "b" allein steht.
27.04.2011, 18:15	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Pilot9, ja, das habe ich selbst schon versucht, aber leider bekomme ich das quatrieren nicht hin. da in der ersten Gleichung die Wurzel nur über dem Zähler des Bruches steht. Gruß Morbz
27.04.2011, 18:23	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left( \frac{\sqrt{a²-b²}}{a} \right)^{2} = \frac{(\sqrt{a²-b²})^{2}}{a^{2}} \end{eqnarray}$ Und wenn ich dir jetzt noch sage, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{a²-b²}=(a²-b²)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ , bekommst du es dann hin?
27.04.2011, 18:40	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe, ist dann $\begin{eqnarray} \epsilon ² = \frac{a²-b²}{a²} \|a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² = a² - b² \|+a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² + a²=b² \| \sqrt() \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt (\epsilon ² * a² +a²) = b \| \end{eqnarray*}$ ? Gruß Morbz
27.04.2011, 18:43	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
Im zweiten Rechenschritt ist dir ein Fehler unterlaufen. $\begin{eqnarray} \epsilon ² a² = a² - b² \|+a² \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² + a²=2a^{2}-b² \end{eqnarray*}$
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27.04.2011, 18:54	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann muss ich also $\begin{eqnarray} \epsilon ² a² = a² - b² \|-a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² - a²=b² \| \sqrt() \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt (\epsilon ² * a² - a²) = b \| \end{eqnarray*}$ Stimmt das? Gruß Morbz
27.04.2011, 19:00	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du in der zweiten Zeile das minus vor dem $\begin{eqnarray} b^{2} \end{eqnarray}$ unterschlagen. Einfacher wär es, wenn du $\begin{eqnarray} +b^{2} \end{eqnarray}$ rechnest und dann $\begin{eqnarray} -\epsilon ² a² \end{eqnarray}$ also ausgehend von dieser Gleichung: $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² = a² - b² \end{eqnarray*}$
27.04.2011, 19:08	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \epsilon ² a² = a² - b² \|+b² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon ² * a² + b²= a² \|-\epsilon * a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a²-\epsilon² * a²= b² \| \sqrt() \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt(a²-\epsilon² * a²)= b\| \end{eqnarray*}$ Stimmt das jetzt? Gruß Morbz
27.04.2011, 19:12	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Jetzt könnte man das Bestenfalls noch etwas vereinfachen. $\begin{eqnarray} \sqrt(a²-\epsilon² a²)=\sqrt(a² \cdot (1-\epsilon² ))=\sqrt(a²) \cdot \sqrt(1-\epsilon² )=a \cdot \sqrt(1-\epsilon² )=b \end{eqnarray*}$ Je nachdem, ob du noch weiterrechnen willst, oder ob hier schon schluß ist.
27.04.2011, 19:14	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Formel $\begin{eqnarray} \epsilon = \sqrt{1-\frac{b²}{a²} } \end{eqnarray}$ Stimmt der Rechenweg: $\begin{eqnarray} \epsilon = \sqrt{1-\frac{b²}{a²} } \|² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon² = 1-\frac{b²}{a²} \|a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon² * a² = 1- b² \|+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \epsilon² * a² +1 = b² \| \sqrt() \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt(\epsilon² * a² +1) = b \end{eqnarray*}$ Stimmt das auch? Danke und Gruß Morbz
27.04.2011, 19:22	Pilot9	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieder Fehler im zweiten Schritt. $\begin{eqnarray} \epsilon² = 1-\frac{b²}{a²} \|a² \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \epsilon² \cdot a² = a²-b² \end{eqnarray}$ Erklärung: $\begin{eqnarray} (a-b) \cdot c=ac-bc \end{eqnarray}$ In deinem Fall: $\begin{eqnarray} (1-\frac{b²}{a²}) \cdot a²=a²-b² \end{eqnarray}$ Von $\begin{eqnarray} \epsilon² \cdot a² = a²-b² \end{eqnarray*}$ kannst du aber auch weitermachen, was dir sicher bekannt vorkommt. (mir ist auch erst hier aufgefallen, dass deine beiden Gleichungen völlig äquivalent sind, die erste eben nur eine vereinfachte Variante der zweiten ist)
27.04.2011, 20:19	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Pilot danke für deine ausführlichen Antworten!!! Ich habe auch gerade erst gemerkt, dass beide Formeln an sich das gleiche sind, mit beiden kann man die Exzentrizität von Planetenbahnen berechnen. Also nochmals vielen Dank Gruß Morbz

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