Statistik: Konfidenzintervalle & Hypothesentest

27.04.2011, 18:41	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Statistik: Konfidenzintervalle & Hypothesentest Hallo, ich brauche bitte eure Unterstützung: Ich habe einen Datensatz gegeben, der den Zusammenhang zwischen verfügbaren Einkommen und Konsum in einen best. Land über einem bestimmten Zeitraum darstellt. Wir haben uns das schon als lineares Regressionsmodell angeschaut, in der Form: $\begin{eqnarray} C_t=\beta_1+\beta_2y_t+U_t \end{eqnarray}$ Wir haben dann mit der Methode der kleinsten Quadrate die Parameter beta_1 und beta_2 geschätzt. 1) Nun sollen für beta_1 und beta_2 95%-Konfidenzintervalle bestimmt werden und ich weiß grad so gar nicht, wie... Also sei unser Konfidenzintervall $\begin{eqnarray} KI=(a;b) \end{eqnarray}$ , ich betrachte beta_1, dann muss gelten: $\begin{eqnarray} P(a<\beta_1<b)=0.95 \end{eqnarray}$ Hm, und jetzt? Müsste ich jetzt nicht irgendetwas über die Verteilung von beta wissen? 2) Außerdem soll ein statistischer Test durchgeführt werden mit $\begin{eqnarray} H_0: \beta_2=0, H_1: \beta_2 \neq 0 \end{eqnarray}$ mit dem Signifikanzniveau alpha=0.05. Muss ich da jetzt so einen nicht-randomisierten Test aufschreiben und davon irgendwie den Erwartungswert, der dann alpha (oder 1-alpha ?) ergeben muss? (alte Erinnerungen an die Stochastik-VL) Danke, lieben Gruß!
28.04.2011, 10:47	matzmatz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Zu 1) Konfindenzintervalle für $\begin{eqnarray} \beta_j \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \beta \pm t_{n-k-1}(1-\frac{\alpha}{2}) \cdot s \cdot \sqrt {c_{jj}} \end{eqnarray}$ : Dabei sind: t: Quantil der t-Verteilung mit n-k-1 Freiheitsgraden udn der Irrtumswahrscheinlichkeit alpha = 0.05 s: Standardabweichung, Wurzel aus $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{n-k-1} \cdot RSS \end{eqnarray}$ RSS: Summe der Fehlerquadrate zwischen beobachteten und geschätzten Werten cjj: Element der j-ten Zeile und der j-ten Spalte folgender Matrix $\begin{eqnarray} C=(X^T \cdot X)^-1 \end{eqnarray}$ , also für $\begin{eqnarray} \beta_1 \end{eqnarray}$ das 1. Element der 1. Spalte, usw. n: Anzahl der Beobachtungen k: Anzahl der Koeffizienten (ohen Konstante): Wenn ich dein Modell richtig verstehe, dann k = 1 (ich weis aber nicht, was U bedeutet!) X: Matrix: 1. Spalte besteht aus Einsen, 2. Spalte aus Werten von $\begin{eqnarray} y_t \end{eqnarray}$ (und was mit U ist, weis ich wieder nicht) Zu 2) Wenn 0 innnerhalb des oben angegebenen Konfindenzintervalles von $\begin{eqnarray} \beta_j \end{eqnarray}$ liegt, dann kann $\begin{eqnarray} H_0: b_j = 0 \end{eqnarray}$ nicht abgelehnt werden. Ist die Null nicht in einem Intervall enthalten, wird von $\begin{eqnarray} H_1: b_j \ne 0 \end{eqnarray}$ ausgegangen
29.04.2011, 09:43	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals, du hast mir wirklich sehr geholfen. Jetzt, wo das hier so stand, habe ich auch die entsprechende Seite in meinen Aufzeichnungen gefunden... Allerdings ist hier das Quantil der t-Verteilung mit n-k (statt wie bei dir mit n-k-1) Freiheitsgraden angegeben?! Aber mal unabhängig davon: Ich habe in so einer Tabelle nachgeschaut und ich sehe das doch richtig, dass für n-k-1=22 gilt $\begin{eqnarray} t_{n-k-1,1-\frac{\alpha}{2}} =2,074 \end{eqnarray}$ ? Und wie kommt man auf diese Gleichung für die Standardabweichung? Selbst wenn ich vorher schon die richtige Hefterseite gefunden hätte, hätte ich nicht gewusst, was dafür einzusetzen gewesen wäre... Ach so und das U kann man ignorieren, ich hätte es auch schon weglassen sollen. Das haben wir am Anfang mal als "Störterm" definiert bekommen, der nicht erfasste oder nicht kontrollierbare Effekte zusammenfasst. Für die Rechnung aber irrelevant. zu 2) Das klingt ja ziemlich einfach... also baut diese wirklich nur auf der ersten auf? Wenn ich jetzt nur die 2. hätte lösen müssen, hätte ich dann auch einfach das Konfidenzintervall bestimmt und darauf aufbauend meine Entscheidung getroffen? Ach ja, und ich soll dann noch einen Test auf Signifikanz des Gesamtmodells durchführen, für das gleiche alpha. Das heißt ja, ich teste $\begin{eqnarray} H_0: \beta_1=\beta_2=0, H_1: \beta_1 \neq 0 oder \beta2 \neq 0 \end{eqnarray}$ . Kann ich das dann wieder aufgrund der Konfidenzintervalle aus 1) entscheiden? Also nochmal, vielen Dank und schönes Wochenende!
29.04.2011, 14:09	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich habe das jetzt mit dem Konfidenzintervall genau so gemacht, wie du es beschrieben hast... und vl ist es ja auch richtig so, aber es kommen riesige Grenzen der Größenordnung 10^7 heraus... kann das stimmen? Ich weiß ja nicht, was "normal" ist...
02.05.2011, 11:02	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das mit den n-k bzw. n-k-1 Freiheitsgraden liegt daran, dass wir in der Vorlesung mit k auch die konstanten Glieder gezählt haben, also laut Vorlesung k=2 und dann kommt ja die gleiche Anzahl an Freiheitsgraden heraus. Trotzdem wundert es mich, dass das Intervall so riesig ist. Mein geschätztes beta1 hat Größenordnung -10000, das Konfidenzintervall hat Grenzen Größenordnung +/- 100000. Das ist ja vielleicht noch okay. Aber mein beta2 war etwa 1, etwas weniger, und das Konfidenzintervall ist etwa +/- 8*10^7!!! Kann das stimmen? Was den Rest angeht, hab ich meinen Hefter jetzt hoffentlich ganz gut verstanden. Hypothesentest ist da aber mehr, als einfach nur schauen, obs im KI liegt... lg

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