Skizzieren von Teilmengen der komplexen Ebene |
| 27.04.2011, 19:08 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Skizzieren von Teilmengen der komplexen Ebene Hey, ich muss 2 Teilmengen skizzieren und habe nicht so wirklich einen Ansatz, den ich weiter verfolgen kann... Meine Ideen: Die y-Achse stellt ja den Imaginärteil da und die x-Achse den Realteil?! Kann ich dann einfach aus Im(z) ein y(z) machen und für z = x + i * y einsetzen!? Oder *hm*... Bringt mich auch nicht viel weiter... Ist momentan für mich der (heftige -.-) Einstieg in die höhere Mathematik und hoffe, dass mir das jemand verständlich erklären kann :/. Danke schonmal^^ |
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| 27.04.2011, 19:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann z = x + iy setzen. Danach bilde bei (1) den Kehrwert und berechne Re(1/z) und setze diesen schließlich gleich 1. Und bei (2) verfahre ähnlich. Schreibe mal deine weiterführenden Rechnungen ... mY+ |
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| 27.04.2011, 19:58 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, ja, das habe ich mir als Ansatz ja auch gedacht... Nur ist mir nicht ganz klar, wie ich dann z.B. Re(1 / (x +iy)) = 1 auf eine normale Form bringen soll... Wie macht man Umformungen in der Abhängigkeit?! Ich kann ja keine Berechnungen machen, muss es nur auf eine Form bringen, in der ich durch Einsetzen von Werten, dann skizzieren kann?! Mein Problem ist einfach, ich weiss nicht genau, wo ich hin will/muss... Wir haben jetzt 1 Vorlesung kurz bestimmt, was komplexe Zahlen sind, 1. Semester. Habe mir ein Mathebuch besorgt, hilft mir hier auch nicht weiter, wie man da vorgehen muss... |
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| 27.04.2011, 20:39 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weshalb ist das so? Was wurde da gemacht? mY+ |
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| 27.04.2011, 21:13 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oha! 
Habe das jetzt die ganze Zeit angestarrt und raus gefunden, was Sie meinen...Wenn ich den 1. Term mit (ich weiss leider nicht, wie ich in LATEX den Bruch so schön hin kriege...) (x - iy) / (x - iy) multipliziere, was ich ja darf, da dass 1 ist, erhalte ich (x - iy) / ((x + iy) (x - iy)) Da haben wir dann ne binomische Formel, mit x^2 - i^2y^2 im Ergebnis... Und i^2 ist bei den komplexen Zahlen ja immer -1... Und dadurch ergibt sich dann das Ergebnis... Kann ich nachvollziehen, finde ich auch gut und danke, dass Sie es so mit Lernprozess gestalten, was mir sicher mehr, als eine fertige Lösung bringt... Allerdings sehe ich noch nicht, wie mich das zu einer Lösung führen kann... |
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| 28.04.2011, 02:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dieser Vorgang heisst "Reellmachen des Nenners". Dessen Sinn war es hier, dass nunmehr der Realteil des Kehrwertes 1/z abzulesen ist: Dieser beträgt Wenn du dies gleich 1 setzt, folgt daraus schon eine Gleichung in x, y, deren Graph die gesuchte Teilmenge von C beschreibt. mY+ |
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| 28.04.2011, 08:51 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhhh, okey, danke 
!Weil es Re(), kann ich jetzt einfach das -iy/(x^2 + y^2) raus nehmen?! Oder muss ich mir das so vorstellen, dass das jetzt wieder in Realteil und Imaginärteil aufgeteilt wurde und wir für eine Skizze nur den Realteil brauchen!?
Und warum muss man erst diesen Trick des "real machens" anwenden? Habe auch verstanden, dass man das mit der konjungiert komplexen Zahl machen muss, aber kann ich nicht vorher auch einen Realteil und Imaginärteil ablesen?! Bzw. die Frage anders gestellt, warum muss für das Ablesen der Nenner unbedingt Real sein? Auf jeden Fall schon mal vielen Dank, hat mir sehr weiter geholfen! |
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| 28.04.2011, 09:20 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Kann dein Beitrag leider nicht mehr edieren)... Ist es so, dass ich den Nenner real mache, damit ich einen komplett realen Teil ermitteln kann und nur der reale Teil ist dann der, den ich grafisch darstellen kann, deswegen lässt man den imaginären Teil raus?! Falls das so ist, hab ichs wohl verstanden! Bleibt mir nur noch die Frage dann, wie man dann Re(z) und Im(z) unterschiedlich behandelt... Wenn ich nur den Realteil darstellen kann, wird bei Im(z) ja auch ein Realteil gefordert sein!? |
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| 28.04.2011, 10:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Reell", nicht "real". Nur wenn eine komplexe Zahl in der sogenannten kanonischen Form, also in kartesischen Koordinaten, vorliegt: kann man Real- und Imaginärteil ablesen: Durch das Reellmachen des Nenners bekommst du genau diese kanonische Form (weil eine reelle Zahl durch eine reelle Zahl wieder eine reelle Zahl gibt): Du kannst die Aufgabe auch mit dem -Kalkül lösen. Es gilt ja Jetzt beachte, daß die komplexe Konjugation mit den Grundrechenarten verträglich ist und auf die Identität induziert. Dann folgt: |
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| 28.04.2011, 13:55 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah, okey... Danke, klar... Ich darf real und reell nicht durcheinander werfen! Deine untere "Lösung" kann ich nicht ganz nachvollziehen, aber trotzdem danke für das Aufzeigen einer Alternative
...Man kann also nur den Realteil darstellen(weil er halt real und nicht imaginär ist?!) und dieser muss aus einer reellen Zahl bestehen. Wie behandelt man denn den Unterschied, ob die gegebene Teilmenge real oder imaginär ist?! Macht das für mich keinen Unterschied, außer, dass in der imaginären Teilmenge auch direkt ein "i" vorkommt, dass es auch zu "beiseitigen" gibt!? |
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| 28.04.2011, 19:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast dies offensichtlich noch immer nicht vollständig verstanden. Der Realteil und der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind beide reell (bitte NICHT real dazu sagen! Es heisst "reelle Zahlen" und nicht "reale Zahlen"). Bei z = a + ib sind also a, b reelle Zahlen, denn die imaginäre Einheit steht als i ja gesondert dabei. Da in der Menge der komplexen Zahlen alle Zahlen, also sowohl reelle als auch imaginäre Zahlen vereinigt sind, können Teilmengen eben reell oder rein imaginär oder auch selbst komplex sein. Die in deinen Aufgaben gesuchten Teilmengen sind komplexe Teilmengen. Sie bestehen aus allen komplexen Zahlen, für die die in der Aufgabe angeführten Bedingungen zutreffen. Haben wir zum Beispiel als graphisches Ergebnis des x-y - Zusammenhanges einen Kreis vorliegen, so heisst dies, dass die Spitzen aller komplexen Pfeile der Lösung (in der Gauß'schen Zahlenebene) diesen Kreis beschreiben. mY+ |
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| 29.04.2011, 11:46 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, habe mich etwas doof ausgedrückt, danke
...War jetzt mit anderen Aufgaben von meinen Übungen beschäftigt, gestern... Aber bin nun wieder hier dran. Ich habe dann also: x / (x² + y²) = 1 <=> x = x² + y² <=> y = sqrt(x) - x Wenn ich das jetzt zeichnerisch darstellen muss... Also skizzieren... Ich nehme mir dann Wertepaare ran... Nullstelle ist bei 1... Gut... Würde dann ohne Taschenrechner noch x= 4 nehmen -> y = 1... Kein Problem... Wie ist das aber bei negativen Zahlen?! Wir sind ja im Bereich der komplexen Zahlen, da gibt es Wertepaare, auch, wenn ich aus negativen Zahlen Wurzeln ziehen muss?!... |
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| 29.04.2011, 11:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch wenn du meinen Rechenweg nicht verstanden hast, sollte dir doch das Ergebnis klar sagen, was da geometrisch vorliegt. Und wie kannst du das nun mit kartesischen Koordinaten ausdrücken? Worauf läuft also die weitere Umformung von hinaus? |
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| 29.04.2011, 15:22 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist mir schon unangenehm, dass man mir das scheinbar so aus der Nase ziehen muss... Ich habe ehrlich gesagt, noch kein "ernsthaftes Verständnis" von komplexen Zahlen und wenn ich mir das angucke, sagt mir das leider nichts... Irgendwie kommt mir "Kreis" in den Sinn, wenn ich das sehe, kanns weder begründen, noch würde ich es laut sagen wollen. Ich bin 5 Jahre aus der Schule raus und bin dabei, das wieder aufzuarbeiten... Und aus einer Lösung, die ich nicht nachvollziehen kann, einen Schluss zu ziehen, wie ich weiter vorgehen muss, bringt mich für eine zukünftige Aufgabe ja nicht weiter?! LG... |
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| 29.04.2011, 20:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es IST ein Kreis. Dazu erinnere dich an die allgemeine Kreisgleichung für K[M(m; n); r]: Versuche nun, deine Gleichung durch entsprechende Umformung auf die obige Form zu bringen, um Mittelpunkt und Radius zu ermitteln. Tipp: Quadratische Ergänzung. Übrigens ist dies
aber sowas von gründlich falsch! Was hast denn da angestellt? mY+ |
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| 01.05.2011, 15:20 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich möchte ja auch nicht einfach ne Lösung haben, sondern verstehen, wie ich beim nächsten Mal selber da hin komme... Ich sehe aber nicht, ohne die Lösung von Leopold, dass ich da einen Kreis habe?! Warum ist eine einfache Umformung nach y mit anschließender Wertetabelle hier nicht möglich?! Und quadratische Ergänzung... Ich weiss ja nicht, welche Variable den Radius bzw. Mittelpunkt dar stellt? Oder weitere Variablen ergänzen?! Aber die werde ich dann ja auf der anderen Seite nicht los... LG |
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| 02.05.2011, 20:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer hat gesagt, dass das nicht geht? Das kannst du durchaus auch machen. Beachte, dass du in Folge der Wurzel zwei getrennte Funktionen hast, die du zusammensetzen kannst. Es werden dann zwei Halbkreise vorliegen, welche einen ganzen Kreis ergeben ... Quadr. Ergänzung: Links nun eine binomische Formel anwenden, es folgt M und r mY+ |
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| 02.05.2011, 21:31 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also (x - 1/2)^2 + y^2 = 1/4... 1/2 ist dann also M und 1/2 ist auch r... Hmmmm, okeeeey, danke!
Super... Einiges gelernt! Noch vielleicht eine Verständnisfrage am Ende... Ich habe mir auch eine Wertetabelle zu machen versucht... Dann habe ich ja halt eine Wurzel und müsste auch negative Werte einsetzen... z.B. Wäre dann ja Bin mir nicht ganz sicher, wie ich dann "vernünftig" an den Wert komme o.O... Ich weiss, ist wohl Grundlage... Aber irgendwie... Das war auch die letzte Frage dann dazu... Und nochmals vielen Dank für die Geduld...! Liebe Grüße |
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| 02.05.2011, 23:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unter der Wurzel darfst du natürlich nur solche Werte einsetzen, für die der Radikand größer oder gleich Null bleibt. Deshalb ist ja auch die Definitionsmenge für diese beiden Funktionen (oberer und unterer Halbkreis) entsprechend eingeschränkt. Denn der nach y umgeformte Term lautet , dabei wird sofort klar, dass die Argumente (x) nur zwischen 0 und 1 liegen können ... (x kann nicht kleiner als Null oder größer als 1 sein) mY+ |
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| 03.05.2011, 09:24 | Acanis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar... Vielen Dank! Wenn ichs jetzt aber nach der Kreisform-Idee mache, dann habe ich ja dieses ">0" nicht und es ist ein Kreis, obwohl es zwei Halbkreise sein sollten!? Oder ist das dann die "künstlerische Freiheit" einer "Skizze"?^^ |
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| 03.05.2011, 20:32 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Kreisgleichung selbst ist keine Funktion (nach der Definition) [warum?] und ihr Graph ist der beschriebene Vollkreis K[M(1/2; 0); 1/2]. Sie beinhaltet jedoch zwei getrennte Funktionen, die jede für sich einen Halbkreis darstellen. Zusammen ergeben diese beiden denselben Kreis wie der von der allg. Kreisgleichung beschriebenen. mY+ |
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