Funktionsgleichung 3. Grades aufstellen

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27.04.2011, 17:17	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung 3. Grades aufstellen Frage: Wie lautet die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades, die einen Wendepunkt bei X = 1 besitzt, die X-Achse im Ursprung berührt und sie ein weiteres Mal unter 45° schneidet? Ich habe erstmal die Rahmenbedingungen aufgestellt (Grundform der Funktion 3. Grades). Ich benötige also drei Gleichungen um die drei Unbekannten zu lösen, denn a0 (Schnittpunkt Ordinate) = 0. Als erste Gleichung habe ich $\begin{eqnarray} f'(1)\neq0 \quad \wedge \quad f''(1)=0 \quad \wedge \quad f'''(1)\neq0 \end{eqnarray}$ Damit ist die Gleichung für den Wendepunkt gegeben. Als zweite Gleichung habe ich die Berührung mit dem Ursprung P ( 0 \| 0 ), wobei ich mir da schon nicht sicher bin, denn eine Berührung hat doch immer zwei Punkte, so habe ich es gelernt, ich gebe jedoch nur einen an. Bei der dritten Gleichung, dass der Graph die X-Achse unter 45° schneidet, bleibe ich dann absolut hängen. tan(45)=1, das wäre dann eine Steigung von 1x. Ich hoffe ihr könnt mir einen Denkanstoß verpassen. Gruß Jonny
27.04.2011, 17:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein GR- Polynom 3. O. hat vier Konstanten, demnach müssen auch 4 Bedingungen ausgewertet werden. Die Berührung der x-Achse im Nullpunkt liefert zwei Gleichungen (!), denn die x-Achse ist dort auch Tangente (Steigung = 0) mY+
27.04.2011, 18:06	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch a0 = 0 habe ich doch eine Konstante gleich rausgenommen. Dadurch bleibt f(x)=a3x³+a2x²+a1*x Somit noch 3 Unbekannte. Kann ich denn dann nicht als Koordinatenpunkt P(0\|0) nehmen und daraus eine Gleichung machen? Gruß Jonny
27.04.2011, 18:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird - ein zweites Mal - nicht gut gehen. Denn durch Setzen der Konstante = 0 hast du schon die Eigenschaft des Punktes (0; 0) ausgenützt. Und das war auch schon die erste Bedingung. Jetzt bleiben noch 3 (von 4). mY+
30.04.2011, 08:49	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir leider nicht folgen, könntest du mir das ausführlicher erklären welche zwei Gleichungen sich in dem Punkt (0\|0) verstecken? Ich Ich dachte du meinst es evtl. so, dass der Schnittpunkt der y-Achse bei 0 liegt und die Steigung (mT) ebenfalls 0 ist an dieser Stelle, aber welche Gleichung kann ich daraus aufstellen? Ich hätte daraus gemacht: I (Schnittpunkt y-Achse) : a0 = 0 => f(0)=0 II (Steigung) : f'(x) = 1 III (WP) : f''(1) = 0 Damit lieg ich doch total daneben, oder? Gruß Jonny
30.04.2011, 20:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So total doch gar nicht, II und III sind ja richtig! Nur mit f(0) = 0 wird das nicht mehr gehen, denn deswegen ist bereits a0 = 0 gesetzt worden. Vielmehr musst du die Berührung der x-Achse in (0; 0) verwenden: Was da passiert, ist, dass dort dann eine horizontale Tangente besteht. Somit muss dort auch die Steigung gleich 0 sein. Nun gibt es noch ein letztes Problem mit der zweiten Nullstelle (x = 0 ist eine doppelte Nullstelle, also bleibt nur noch x3 als dritte). Wir wissen, dass dort die Steigung gleich 1 ist, aber nicht, wo sich diese Nullstelle befindet. Dazu musst du erst die beiden anderen Bedingungen (Wendepunkt und Berührung der x-Achse im Nullpunkt) auswerten. Danach kann das Polynom mit dem ausgeklammerten Term $\begin{eqnarray} a_3x^2 \end{eqnarray}$ geschrieben werden. In der Klammer steht dann ein Linearfaktor, der die letzte Nullstelle angibt [3]. Mit der Steigung 1 dort kannst du schließlich a3 ausrechnen. mY+
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01.05.2011, 09:36	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich glaube so langsam verstehe ich. Allerding stehe ich jetzt etwas auf dem Schlauch wie ich weiter machen soll, ich kann ja jetzt nicht einfach mit Additionsverfahren o.ä. anfangen um nach a2 und a1 aufzulösen. Ich habe jetzt f''(1)=0 und die Berührung im Nullpunkt (wofür ich aber nicht f(x)=0 sagen kann, da ich schon a0 = 0 gesetzt habe?)... Durch eine Berührung der x-Achse entstehen immer zwei Nullstellen, das ist mir klar, ebenso dass die Steigung dort 0 betragen muss. Aber was für eine Gleichung kann ich denn aufstellen für eine Steigung von 0? f'(0)=0 ? Gruß Stephan
02.05.2011, 18:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, freilich, f '(0) = 0 Daraus folgt, dass auch a1 = 0 sein muss. Aus der Wendepunkteigenschaft folgt nun: 6a3 + 2a2 = 0, somit ist a2 = -3a3 Das setzen wir nun in den Funktionsterm ein, damit ist $\begin{eqnarray} f(x) = x(a_3x^2 - 3a_3x) = a_3x^2(x-3) \end{eqnarray}$ Was folgt nun daraus für die dritte Nullstelle? Und weil dort die Steigung gleich 1 ist, kann diese Nullstelle in die 1. Ableitung ein- und gleich 1 gesetzt werden. mY+
02.05.2011, 20:13	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ich habe jetzt aus $\begin{eqnarray} f(x) = x(a_3x^2 - 3a_3x) = a_3x^2(x-3) \end{eqnarray}$ die erste Ableitung gebildet und diese gleich 1 gesetzt. $\begin{eqnarray} f'(x) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 = 3x^2-6x \|-1<br /> 0 = 3x^2-6x-1 \|:3<br /> 0 = x^2-2x-\frac{1}{3} \|pq-Formel<br /> x_{1/2} = -\frac{-2}{2}-+\sqrt{(\frac{-2}{2})^2+\frac{1}{3}}<br /> x_{1} = 2,1547<br /> x_{2} = -0,1547<br /> \end{eqnarray}$ Nun weiss ich bei welchen beiden x-Werten die Funktion eine Steigung von 1 besitzt. Wenn ich diese x-Werte jetzt in die Stammfunktion einsetze, bekomme ich nicht Null heraus, somit ist es keine Nullstelle und ich lag voll daneben. Ich verstehe wieso du die zweite Ableitung von dem WP aufgelöst hast, jedoch nicht wieso du dann das Ergebniß als f(x) hinschreibst. a0 ist 0 a1 ist 0 a2 ist -3a3 a3 fehlt noch Ich habe jetzt noch etwas anderes versucht, komme damit jedoch auch nicht weiter: $\begin{eqnarray} f'(x) = 1<br /> 1 = 3a_3x+2a_2 \end{eqnarray}$ Dann kann ich für a2 das -3a3 einsetzen und nach x auflösen. Da bekomme ich heraus: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1-3a_3}{3a_3}} \end{eqnarray}$ Ich hab das Gefühl ich bin Meilen entfernt vom richtigen Weg. Gruß Stephan
02.05.2011, 21:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zumindest entfernst du dich zusehends davon anstatt dich dem richtigen Weg zu nähern In deiner 1. Ableitung hast du das a3 gänzlich unter den Tisch fallen gelassen, das ist natürlich nicht zulässig, wenn diese Ableitung nicht gerade Null ist (!). Somit ist jede weitere Rechnung falsch. Du sollst gar nicht jene Stelle des noch unbekannten Polynomes suchen, an welcher die Steigung 1 ist. Sondern die letzte noch unbekannte Nullstelle und dort die Steigung 1 setzen und damit a3 berechnen und du bist fertig! Hast du eigentlich die letzten Antworten richtig gelesen, in denen versucht wurde, dir das näher zu bringen? Also, welche Nullstellen hat denn nun das Polynom $\begin{eqnarray} f(x) = a_3x^2(x-3) \end{eqnarray}$ ?? mY+
03.05.2011, 11:02	JonnyErdnuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach herrje, der Linearfaktor... jetzt seh ich es wieder! $\begin{eqnarray} f(x) = a_3x^2(x-3) \end{eqnarray}$ Linearfaktor x-3, somit ist die Nullstelle bei 3. Dann habe ich f'(3) = 1 => 3a33² + 2a23 = 1 für a2 wird -3a3 eingesetzt. 3a33² + (2-3a3)3 = 1 Nach a3 aufgelöst: a3 = $\begin{eqnarray} \frac{1}{9} \end{eqnarray}$ Nun kann ich f'(3)=1 nach a2 auflösen: $\begin{eqnarray} 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^2 + 2 \cdot a_2 \cdot 3 = 1<br /> 3 + 6a_2 = 1<br /> 6a_2 = -2<br /> a_2 = - \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{9} \cdot x^3 - \frac{1}{3} \cdot x^2 \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun in diese Funktion die Stelle 0 eingebe kommt 0 heraus. Ich ich in die Funktion die Stelle 3 eingebe kommt 0 heraus. Wenn ich in die erste Ableitung die Stelle 3 eingebe kommt 1 heraus. Nun kann ich noch prüfen ob bei x=1 ein WP vorliegt. Da dies alles stimmt, sollte diese Funktion richtig sein und die Aufgabe nach mühevoller Arbeit von mYthos und meiner wenigkeit gelöst sein. ;-) Vielen Dank für die freundliche und geduldige Unterstützung. Gruß Jonny
03.05.2011, 18:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So, jetzt stimmt es. Zugegeben, die Sache mit der 3. Nullstelle war ein wenig tricky, da kommt vielleicht nicht jeder darauf. mY+

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