Anzahl der Körperhomomorphismen

07.12.2006, 13:15	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Körperhomomorphismen Hi... ich soll folgende beiden Aussagen zeigen: a) es gibt unendlich viele Körperhom. $\begin{eqnarray} \phi: \overline{\mathbb Q} \to \mathbb C \end{eqnarray}$ dabei ist $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb Q} \end{eqnarray}$ die Menge der algebraischen Elemente über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb Q} = \{ a \in \mathbb C \| a \textnormal{ ist Nullstelle eines Polynoms in }\mathbb Q[X] \} \end{eqnarray}$ b) es gibt nur einen stetigen Körperhom. $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ bei a) weiß ich gar nicht wie ich rangehen soll, denn ich kann ja nicht mit Minimalpolynomen und deren Nullstellen argumentieren, denn die transzendenten Zahlen besitzen ja keine Minimalpolynome. bei b) auf jeden Fall ist dieser Körperhom. ja die Identität. Jetzt weiß ich nur nicht wie ich das Formulieren soll... - ich möchte erklären, dass 1 auf 1 abgebildet wird, somit ja auch 2 auf 2 usw. also erstmal die ganzen Zahlen... dann bekomme ich durch folgendes Argument noch die rationalen Zahlen: sei dazu a eine ganze Zahl... $\begin{eqnarray} \phi(1) = \phi(aa^{-1}) = \phi(a)\phi(a^{-1}) = a \phi(a^{-1})=1 \end{eqnarray}$ daraus kann ich durch die Eindeutigkeit des Inversen folgern, dass auch $\begin{eqnarray} \phi(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ usw. jetzt muss noch irgendwie die stetigkeit für die irrationalen Zahlen ins Spiel, aber da fehlt es mir irgendwie an einer vernünftigen Formulierung. edit: Beschreibung von $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb Q} \end{eqnarray}$ verbessert - thx matsch
07.12.2006, 16:44	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, Qquer ist doch der alg. Abschluss von Q, oder nicht? Also nicht über C sondern über Q. Und davon gibt's ja unendlich viele, von daher klingt das ja recht logisch, aber wie ich das zeigen soll, weiß ich leider auch nicht. bei b) hab ich noch weniger Ahnung. Wäre also auch sehr dankbar für Anregungen!!! mfg Matsch
07.12.2006, 21:15	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Körperhomomorphismen Bei a) ist zunächst zu untersuchen, ob ein algebraischen Element überhaupt auf eine transzendente Zahl abgebildet werden kann. Bei b) brauchst du nur noch ein Fortsetzungsargument: eine stetige Funktion ist durch ihre Werte auf den rationalen Zahlen ja bereits festgelegt (fortsetzen mit Cauchy-Folgen oder ähnlich). Grüße Abakus
07.12.2006, 21:21	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube nicht, dass ein algebraisches Element auf eine transzendente Zahl abgebildet werden kann. Denn die transzendente Zahl ist sicher keine Nullstelle des Minimalpolynoms von dem algebraischen Element. Das müssen doch aber die Bilder unter einem Körperhomomorphismus sein oder? b) hab ich mittlerweile fertig, danke.
08.12.2006, 19:27	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anzahl der Körperhomomorphismen Bei a) reicht es sicher zu zeigen, dass es unendlich viele Körperhomomorphismen $\begin{eqnarray} \phi: \overline{\mathbb Q} \to \overline{\mathbb Q} \end{eqnarray}$ gibt. Um das zu zeigen, reicht es aus zu zeigen, dass jeder Homomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb Q[\sqrt{p}] \to \mathbb Q[\sqrt{p}] \end{eqnarray}$ (p Primzahl) zu einem Homomorphismus $\begin{eqnarray} \phi: \overline{\mathbb Q} \to \overline{\mathbb Q} \end{eqnarray}$ fortgesetzt werden kann. Grüße Abakus

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