Kubische Spline-Interpolation: Matrix?

27.04.2011, 20:18	McAwesomeville	Auf diesen Beitrag antworten »
Kubische Spline-Interpolation: Matrix? Meine Frage: Hallo Leute! Ich besuche gerade die 13. Klasse eines Wirtschaftsgymnasiums in Baden Württembergnund ich muss (im Fach Mathematik) eine GFS zum Thema "Interpolation mit kubischen Splines" erstellen. Nach einiger Einlesezeit habe ich nun die Begriffe und das Prinzip einigermaßen verstanden. Nur habe ich ein Problem bei der Berechnung der letztendlichen Splinefunktionen. Wir haben im Unterricht das Wahlthema "Lineare Optimierung" anstelle von "Matrizenrechnung" bearbeitet, daher weiß ich nicht, wie man mit so großen linearen Gleichungssystemen umgeht. Eine Freundin hat bereits versucht, die Matrix zu invertieren, jedoch kamen wir so nicht auf die gegebene Lösung. Nun habe ich etwas von einer Tridiagonalmatrix gelesen, die man zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktionen wohl braucht. Leider verstehe ich das Prinzip nicht. Daher meine Frage: Wer kann mir erklären, wie man das entstandene Gleichungssystem letztendlich löst? Hier die Beispielwerte: s(?1)= 0 s(0)=1 s(1)= 0 Dann sind folgende Randbedingungen gegeben: s'(-1) = 0 s'(1) = 0 Somit komme ich auf folgende Gleichungen: s0(?1)=0 ? ?a0 +b0 ?c0 +d0 =0 s0(0) =1 ? d0 =1 s1(0) =1 ? d1 =1 s1(1) =0 ? a1 +b1 +c1 +d1 =0 s0'(?1)=0 ? 3a0 ?2b0 +c0 =0 s0'(0)=s1'(0) ? c0 ?c1 =0 s0''(0)=s1''(0) ? b0 ?b1 =0 Die Ziffern "0,1" hintern den Koeffizienten stehen für die jeweilige Funktion 0 oder 1. Ich weiß nur nicht, wie oder ob hier tiefgestellte Zahlen möglich sind. Nun habe ich also die Gleichungen. Wie rechne ich weiter? Für eine gute und für mich als Schüler verständliche Antwort wäre ich dankbar. Viele Grüße, Mario P.S.: Die Frage ist deshalb im Hochschulforum, da ich nicht glaube, dass das Thema im Leerplan auftaucht. Für falsche Ausdrücke bitte ich zu entschuldigen; Mathe ist nicht mein bestes Fach ;-) Meine Ideen: Lösung in einer Matrix. Allerdings schon versucht in einem Programm und im GTR zu invertieren, immer mit falscher Lösung.
27.04.2011, 20:28	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kubische Spline-Interpolation: Matrix? Hallo, die Theorie und der Bau der Matrix kann schon was heftiger werden: [WS] Spline-Interpolation - Theorie Das Grundprinzip dort ist wichtig, die Matrix ist in der Form vom Buch G.Opfer. Bekanntere /üblichere Darstellung findest du im Stoer/Burlisch. Die Ideen bleiben natürlich, es ist eben eine Frage der Substitution. Für Beispiele benutzte mal die Boardsuche, denn die hier sind schon eher schwer, lehnen sich halt an das Buch an [Opfer], das meine damalige Lektüre war. [WS] Spline-Interpolation - Beispiele
27.04.2011, 20:55	McAwesomeville	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für deine Antwort. Leider kann ich mit beidem nicht viel anfangen, ich verstehe meistens nur Bahnhof. Ist es aber Richtig, dass man für die Berechnung der Spline Funktionen diese Tridiagonalmatrix braucht? Kann man das auch irgendwie anders berechnen? Wie gesagt, mein Wissensstand ist der eines Wirtschaftsabiturienten. Das Thema, was ich für diese GFS zugeteilt bekommen habe, halte ich doch für etwas heftig für einen Schüler.
27.04.2011, 20:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich teile die Meinung, dass das Thema heftig ist. Diese Tridiagonalmatrix muss man sich erarbeiten. So oder so. Für allgemeine Formeln braucht man Wissen über Darstellungen von Interpolationspolynomen. Dann braucht man Wissen aus der linearen Algebra, warum die Tridiagonalmatrix regulär ist. Ich würde mich da noch mal mit einem Lehrer besprechen, was du "vorraussetzen" darfst und was du in Herleitung präsentieren sollst.
27.04.2011, 21:56	McAwesomeville	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dem Lehrer nun eine Mail geschickt. Aber nun noch mal eine kleine Frage zum Begriff "Spline", der mir immer etwas Probleme bereitet. Was ist genau der Spline? Ist das die "ganze" Kurve, die später durch alle Punkte gehen soll, oder sind das die kleinen Teilstücke, die man zwischen den Stützpunkten berechnet. Wikipedia und ich meinen wohl ersteres, habe im Internet aber schon auch die andere Version gehört. Ich bin für dieses Forum echt dankbar
27.04.2011, 22:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Spline ist das Ganze. Die Stücke sind Polynome, nennt man hier auch Restriktionen. Heißt: Schränkt man den Spline auf eines der Intervalle ein, so ist er ein Polynom.
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