Lagrange-Interpolation

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SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Interpolation
Hallo miteinander!

Ich sollte den Wert von mit dem Lagrange-Interpolations-Polynom approximieren. Ich habe die Punkte gegeben.

Damit kann man nun die l_i berechnen:



-->
Ist das korrekt so ?

Wie könnte man eine sinnvolle Fehlerabschätzung machen ? (bzw. wie sieht eine solche aus?)
Wenn ich bei P(x) jeweils den Faktor wegnehme, erhalte ich: . Ist das (ohne die „+1“ nicht gerade der Fehler?

Liebe Grüsse,
Sonja
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange-Interpolation
Hallo,

du hast du y-Werte vergessen. Die x-Werte werden nicht ohne Grund Quadratzahlen sein.

Zitat:
Polynominterpolation

Es wird ein Interpolationspolynom in 3 Darstellungen berechnet.

Beachte: Der Datensatz hat die Form
Knoten: x_0,...,x_n
Funktionswerte: y_0,...,y_n

Bitte die Daten homogen eingeben!

Knotenpunkte eingeben: [100,121,144]
Funktionswerte eingeben: [10,11,12]

--------------------------------------------------------------------------------------------

Lagrange-Darstellung
===========================================================================
====================
[x - 121] [x - 144]
y_ 0 * L_ 0(x) = 10 * -------------------------------------------------------------------
[100 - 121] [100 - 144]

10
= ----------- * [x - 121] [x - 144]
924


[x - 100] [x - 144]
y_ 1 * L_ 1(x) = 11 * -------------------------------------------------------------------
[121 - 100] [121 - 144]

11
= ----------- * [x - 100] [x - 144]
-483


[x - 100] [x - 121]
y_ 2 * L_ 2(x) = 12 * -------------------------------------------------------------------
[144 - 100] [144 - 121]

12
= ----------- * [x - 100] [x - 121]
1012



Weiter mit beliebiger Taste

Newton-Darstellung
===========================================================================
====================

Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------

DD =
100.0000 10.0000 0.0476 -0.0001
121.0000 11.0000 0.0435 0
144.0000 12.0000 0 0

Interpolationspolynom
---------------------

p_ 2(x)=

+ 10
+ 0.047619 * [x - 100]
- 9.41088e-005 * [x - 100] [x - 121]

Weiter mit beliebiger Taste

Monom-Darstellung
===========================================================================
====================

p_ 2(x)=

+ 4.09938 * x^0 + 0.0684171 * x^1 - 9.41088e-005 * x^2


Vergleichsfunktion eingeben? (0=ja, 1=nein) 0
Intervallanfang Ia = 100
Intervallende Ib = 144
Funktion eingeben. Variable vx verwenden, Beispiel: vx.^2: sqrt(vx)
Polynom an einer Stelle auswerten? (0=ja 1=nein)0
Auszuwertende Stelle eingeben: 115

p^(0)_2(115)= 10.7228


[attach]19322[/attach]

[WS] Polynominterpolation - Theorie
SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »

Seh' ich das richtig, dass du für die y-Werte einfach 10, 11 und 12 gewählt hast?

Die hast du so gewählt, weil du weisst, dass die Wurzel von 115 zwischen 10 und 12 liegt, oder?

Wie könnte man hierzu eine Fehlerabschätzung machen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SonjaZ
Seh' ich das richtig, dass du für die y-Werte einfach 10, 11 und 12 gewählt hast?
Die Funktionswerte wurden so gewählt, weil du die Funktion interpolieren möchtest, die y-Werte erhälst du somit durch

Anhand der gegebenen Stützstellen interpolierst du also
Das Interpolationspolynom, das du so erhälst, wertest du dann an der Stelle 115 aus.
SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich verstanden. Aber wieso nimmt man gerade 10, 11, 12 und nicht zum Beispiel 9, 10, 11 ?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ... geschockt
 
 
SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, Frage beantwortet Augenzwinkern

Wie würdet ihr den Fehler abschätzen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Formel wurde bereits verlinkt.
SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön! smile ..den Link hab ich doch glatt übersehen.

Ich nehme an, man sollte den Fehler dann konkret angeben müssen, aber ist mit dem Zähler von:

nicht die Ableitung gemeint?

Also in meinem Fall gölte:
, wobei
Die Ableitung der Wurzel einer Zahl ist aber immer 0...

Liebe Grüsse,
Sonja
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn hier f? Du hast den Beitrag von Math1986 dann wohl doch nicht verstanden und was hier eigentlich gemacht wird....
SonjaZ Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh - es ist natürlich die dritte Ableitung der Wurzel.
Alles klar smile
Besten Dank für die Hilfe und die wertvollen Beiträge!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Immer wieder schön, wenn der Cent fällt. Wink
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