Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

28.04.2011, 04:27

tigerbine

Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

Zitat:

Welche Erweiterungen sind Galois-Erweiterungen?

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[10]{10})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\frac{1+i}{\sqrt{2}})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x)~|~\mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$

Eine Galois-Erweiterung ist eine endliche, normale und separable Körpererweiterung L|K. Für Körper der Charakteristik 0 (a., b.) ist dies genau dann der Fall, wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms aus K[x] über K ist.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[10]{10})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Das zugehörige Minimalpoynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[10]{10} \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} m=x^{10}-10 \end{eqnarray*}$ . Dies zerfällt über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[10]{10}) \end{eqnarray*}$ nicht in Linearfaktoren. Zumindest meine ich das, da ja nichts komplexes adjungiert wurde. Und ich weiter davon ausgehe, dass man mit "eines Polynoms" das Minimimalpolynom der adjungteren Zahl nehmen muss. verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\frac{1+i}{\sqrt{2}})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Das zugehörige Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} m=x^4+1 \end{eqnarray*}$ . Es wurde eine primitive 8-te Einheitswurzel adjungiert. Damit auch ihre Potenzen und m zerfällt über[l]\mathbb Q(\frac{1+i}{\sqrt{2}}) in Linearfaktoren. Die Erweiterung ist galoisch. verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x)~|~\mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$

Hier blicke ich im Moment nicht durch. Warum sind da () Klammern und keine []? verwirrt

28.04.2011, 07:08

kiste

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt[10]{10})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Und ich weiter davon ausgehe, dass man mit "eines Polynoms" das Minimimalpolynom der adjungteren Zahl nehmen muss. verwirrt

Ja, zumindest wenn nur eine Zahl adjungiert wird Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\frac{1+i}{\sqrt{2}})~|~\mathbb Q \end{eqnarray*}$

Das zugehörige Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} m=x^4+1 \end{eqnarray*}$ . Es wurde eine primitive 8-te Einheitswurzel adjungiert.

Meintest du wirklich primitive 8-te? Dann passt doch das MiPo nicht?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x)~|~\mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$

Warum sind da () Klammern und keine []? verwirrt

Das ist eine transzendente Körpererweiterung, ein Funktionenkörper. Das transzendente Element x wurde dazu adjungiert. Die []-Klammern benutzt man nur bei algebraischen Körpererweiterungen.

28.04.2011, 08:47

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

Zitat:

Original von kiste
Meintest du wirklich primitive 8-te? Dann passt doch das MiPo nicht?

Warum ncht? Es gilt ja $\begin{eqnarray*} \varphi(8)=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exp(\pi i/4)^4+1=0 \end{eqnarray*}$ ...

28.04.2011, 14:25

tigerbine

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Also stimmen a und b?

Zitat:

Ja, zumindest wenn nur eine Zahl adjungiert wird Augenzwinkern

Was mache ich, wenn mehrere adjungiert wurden? Was ist dann das Polynom aus

Zitat:

wenn L Zerfällungskörper eines Polynoms aus K[x] über K ist.

Über die (c) muss ich noch mal nachdenken. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$ , was ist da denn drin... Funktionenkörper... Könnt ihr mir mal ein Beispiel geben? Also was sind das für Funktionen. Von wo nach wo bilden die ab. Ist es ein bestimmter Typ Funktion? verwirrt

28.04.2011, 15:37

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Also stimmen a und b?

Meiner Meinung nach ja...

Zitat:

Original von tigerbine
Über die (c) muss ich noch mal nachdenken. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$ , was ist da denn drin... Funktionenkörper... Könnt ihr mir mal ein Beispiel geben? Also was sind das für Funktionen. Von wo nach wo bilden die ab. Ist es ein bestimmter Typ Funktion? verwirrt

Ein Funktionkörper ist nichts Geheimnisvolles, einfach der Körper bestehend aus allen rationalen Ausdrücken in x über dem Grundkörper, wobei x als transzendent vorausgestzt wird... Es ist dies also zunächst einfach nur der Quotientkörper des Polynomrings, wenn dir diese Sichtweise lieber ist... Man kann diese Quotienten aber nun auch tatsächlichlich als Funktionen interpretieren, aber das ist jetzt durchaus nichttrivial und da müsstest du über Bewertungsringe und Stellen (=maximale Ideale in diesen Bewertungsringen) gut Bescheid wissen, um das genauer erklären zu können...

Was die anderen Fragen betrifft, überlass ich die Antwort kiste, der das Thema aufgebracht hat... Augenzwinkern

28.04.2011, 16:16

tigerbine

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Hui... Bezieht man das tranzendent immer auch "x", auch wenn da "x³" steht. Besteht hier also nicht die Gefahr durch "Null zu teilen", wenn q nicht das Nullpolynom ist. Siehe Kleinster Zwischenkörper K(a) Vielleicht muss man nun die Variable "x" da anders belegen... Mit x ist auch x³ transzendent über K.

$\begin{eqnarray*} K(x^3)=\{\frac{p(x^3)}{q(x^3)}~|~p,q \in K[t], q(t)\neq 0\} \end{eqnarray*}$ ?

===============

Und nun braucht man für x ein Minimalpolynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$ . Würde meinen $\begin{eqnarray*} m=t^3-x^3 \end{eqnarray*}$ . Dann hätte die Körpererweitung den Grad 3. Die Charakteristik von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x^3) \end{eqnarray*}$ ist 7. Wegen $\begin{eqnarray*} 7 \nmid 3 \end{eqnarray*}$ ist die Körpererweitung separabel. Es ist die Frage, ob sie auch normal ist. Dazu müßte m über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x) \end{eqnarray*}$ in Linearfaktoren zerfallen...

$\begin{eqnarray*} m=t^3-x^3 = (t-x)(t^2+t\cdot x+x^2) \end{eqnarray*}$

verwirrt

28.04.2011, 17:46

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Ja, stimmt soweit alles, insbesondere ist mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ natürlich auch $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ transzendent... Was die Frage der Galois-Erweiterung angeht, so müsste man sich die Diskriminante des verbleibenden quadratischen Terms anschauen und klären, ob er ein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x) \end{eqnarray*}$ ist...

28.04.2011, 17:57

tigerbine

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Hui, endliche Körper und Funktionen. Der Schweiß rinnt....

$\begin{eqnarray*} D=x^2-4x^2=-3x^2=4x^2=(2x)(2x) \end{eqnarray*}$

Wäre also ein Quadrat... Lösungsformel... liefert

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x+x= \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}x-x=-\frac{3}{2}x \end{eqnarray*}$

und die Linearfaktorisierung...

$\begin{eqnarray*} m=t^3-x^3 = (t-x)(t -\frac{1}{2}x)(t+\frac{3}{2}x) \end{eqnarray*}$

verwirrt

[du hast post]

28.04.2011, 19:40

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Stimmt bis Kleinigkeiten bzw. Verschönerungen... Freude

$\begin{eqnarray*} D=x^2-4x^2=-3x^2=\ldots \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} m=t^3-x^3=(t-x)(t-2x)(t-4x) \end{eqnarray*}$

Brüche sollte man spätestens im Endresultat immer beseitigen, wenn möglich! Augenzwinkern

28.04.2011, 19:53

tigerbine

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Ok, Tippfehler. Aber die Brüche wegzaubern, wie hast du das gemacht? Weil ich modulo 7 denken muss?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \equiv \overline{1} \cdot \overline{2}^{-1} = \overline{1} \cdot \overline{4} = \overline{4} \equiv 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \equiv \overline{3} \cdot \overline{2}^{-1} = \overline{3} \cdot \overline{4} = \overline{5}= -\overline{2}\equiv -2 \end{eqnarray*}$

Wenn es stimmt hast du mir die Faktoren ja vertauscht... Big Laugh

28.04.2011, 20:09

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Wenn es stimmt hast du mir die Faktoren ja vertauscht... Big Laugh

Ja, eine weitere Verschönerung eben... Augenzwinkern

Deine Umformungen sind natürlich korrekt, doch würde ich bei einer der beiden Varianten, nämlich Querstrich und = bzw. ohne Querstrich und dafür $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ bleiben und diese nicht "mischen", wobei mir persönlich die zweite Variante mehr zusagt....

28.04.2011, 20:13

tigerbine

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Ok, dann schreibe ich alles mit $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ . Diente hier eher als Betonung für mich, zu sehen, welchen Denkschritt ich bis dato noch nicht gemacht hatte.

Tanzen

Frankreich schon ein paar Kilometer näher gekommen.

29.04.2011, 12:25

Mystic

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RE: Galois-Erweiterung ? [ÜAB]
Als kleiner Nachtrag noch zu den obigen Rechnungen: Man hätte sich die Sache hier ad hoc auch leicht machen können, da wegen

$\begin{eqnarray*} 2^3 \equiv 1 \mod 7 \end{eqnarray*}$

jede Nullstelle von

$\begin{eqnarray*} t^3-x^3 \in \mathbb F_7(x^3)[t] \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7(x) \end{eqnarray*}$ durch einfache Verdopplungen weitere Nullstellen produziert... Augenzwinkern

Edit: Wenn man sich das Ganze noch etwas genauer ansieht, so sieht man, dass die Nullstellen des obigen Polynoms von vornherein von der Form

$\begin{eqnarray*} kx \quad (k \in \mathbb F_7^*) \end{eqnarray*}$

sein müssen, wobei k eine 3-te Einheitswurzel in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_7^* \end{eqnarray*}$ ist... Das führt natürlich sofort auf die allgemeinere Frage, wann es 3 solche 3-te Einheitswurzeln in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q^* \end{eqnarray*}$ gibt... Einfache Antwort: Dann und nur dann, wenn 3 | q - 1 gilt, wie eben in vorliegendem Fall...

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