Schnittpunkt Gerade mit einem Dreieck

28.04.2011, 10:16

BTKA

Schnittpunkt Gerade mit einem Dreieck

Meine Frage:
Hallo zusammen

Gegeben sei ein Dreieck durch die Punkte
A= 0 \\ 0 \\ 0 B=1 \\ 0 \\ 1 C= 0 \\ 1 \\ 2

Hat die Gerade durch die Punkte D= 1 \\ 1 \\ 1 und E= 2 \\ 2 \\ -4 einen Schnittpunkt mit dem Dreieck? Falls ja, welchen? Falls ein, beschreiben sie die Lage der Geraden.

Meine Ideen:
Ok. Ich bin nun hergegangen und habe erstmal den Startpunkt der Geraden sowie den Vektor der Geradengleichung aufgestellt. also Punkt E-D. r=E-D \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix}

Gerade x= 1 \\ 1 \\ 1 + lambda * 1 \\ 1 \\ -5

Dem folgt die Ebenengleichung

x=r+lambda *c + müh * b

c= 1\\ 0 \\ 1 b= 0 \\ 1 \\ 2

Das alles eingesetzt und gleichgesetzt, so dass ich einen Schnittpunkt falls vorhanden erhalte.

Kommt bei mit aber nur quatsch raus. Ergebnis soll sein 1=5 was heißen soll das die Gerade parallel liegt.

Gruß

28.04.2011, 10:40

Leopold

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Wenn in deinen Angaben keine Fehler sind, dann schneiden sich die Gerade und die Ebene im Punkt

$\begin{eqnarray*} S = \left( \frac{3}{4} , \frac{3}{4} , \frac{9}{4} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre noch zu untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ im Innern des Dreiecks liegt.

28.04.2011, 11:02

BTKA

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Mh. Wie kommst du da drauf?

Also wenn ich die Geradengleichung und die Ebengleichung gleichsetzte habe ich ja.

(1 // 1 // 1) * lambda * (1 // 1 // -5) = (1 // 1 // -5) + lambda * (1//0//2) + müh * (1//0//1)

Das habe ich nun alles ausmultipliziert und nebeneinander geschrieben. So dass folgendes entsteht.

1+lambda = 1 + müh
1+lambda = 1 + lambda
1- 5*lambda = -5 + 2*lambda + müh
___________________________________
+

3 - 3*lambda= -3 + 3*lambda + 2müh

-> 0=2müh

28.04.2011, 11:10

Leopold

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Zitat:

Original von BTKA
(1 // 1 // 1) * lambda * (1 // 1 // -5) = (1 // 1 // -5) + lambda * (1//0//2) + müh * (1//0//1)

DENKFEHLER!

Die Parameter für Gerade und Ebene dürfen nicht denselben Bezeichner $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ haben. Nenne den Geradenparameter um, z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Und - bitte, bitte! - nicht "müh" sagen. Das klingt nach einer Kuh mit Sprachfehler. Schreibe my oder $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

28.04.2011, 11:27

BTKA

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Hehe ok. Habe auch noch einen Schreibfehler entdeckt. Der startpunkt der Ebene ist nicht (1 // 1 // -5) sondern es sollte ja schon Punkt A sein. Also (0//0//0).

Ok also nochmal.

Geraden- Ebenegleichung

(1//1//1)+ lambda * (1//1//-5) = (0//0//0) + r * (1//0//1) + s * (0//1//2)

1 + lambda = 0 + r
1 + lambda = 0 + s
1 - 5*lambda = 0 + r + 2*s
____________________________
+

3 - 3*lambda = 2*r + 2*s

28.04.2011, 11:29

Leopold

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Es bietet sich hier an, die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und die zweite nach $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ aufzulösen und beide in die dritte Gleichung einzusetzen.

28.04.2011, 11:40

BTKA

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Achso natürlich... löl^^

Oki. Nun habe ich für lambda 1/4 rausbekommen

Das nun eingesetzt in die geradengleichung und als Schnittpunkt ergibt sich

(5/4 // 5/4 // -1/4)

Warum hast du denn da was anderes raus? Wegen dem anderen Startpunkt anfangs?

28.04.2011, 12:03

Leopold

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Vielleicht, weil ich -1/4 herausbekommen habe. Augenzwinkern

28.04.2011, 12:08

BTKA

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Dankeschön :>

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